题目

6.在5级行列式中，项a_(13)a_(32)a_(51)a_(24)a_(45)前带的符号是____号（填“+”或“-”）。

6.在5级行列式中，项$a_{13}a_{32}a_{51}a_{24}a_{45}$前带的符号是____号（填“+”或“-”）。

题目解答

答案

在5级行列式中，项 $a_{13}a_{32}a_{51}a_{24}a_{45}$ 的列指标排列为 $3, 4, 2, 5, 1$。
计算该排列的逆序数：

  • 3 后有 2、1（2个逆序）；
  • 4 后有 2、1（2个逆序）；
  • 2 后有 1（1个逆序）；
  • 5 后有 1（1个逆序）；
  • 1 无逆序。
    总逆序数为 $2 + 2 + 1 + 1 = 6$，为偶数。
    根据行列式定义，逆序数为偶数时符号为正。

答案： $\boxed{+}$

解析

本题考查行列式中项的符号的确定，解题思路是根据行列式的定义，通过计算该项列指标排列的逆序数来判断符号。具体步骤如下：

  1. 首先明确在$n$级行列式中，每一项$a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$的符号由列指标排列$j_1j_2\cdots j_n$的逆序数$\tau(j_1j_2\cdots j_n)$决定，当$(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} = 1$时，该项符号为正；当$(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} = -1$时，该项符号为负。
  2. 对于给定的项$a_{13}a_{32}a_{51}a_{24}a_{45}$，其列指标排列为$3,4,2,5,1$。
  3. 计算逆序数$\tau(34251)$：
    • 从排列的第一个数开始，依次计算每个数后面比它小的数的个数。
    • 对于数字$3$，后面比$3$小的数有$2$和$1$，共$2$个，即有$2$个逆序。
    • 对于数字$4$，后面比$4$小的数有$2$和$1$，共$2$个，即有$2$个逆序。
    • 对于数字$2$，后面比$2$小的数有$1$，共$1$个，即有$1$个逆序。
    • 对于数字$5$，后面比$5$小的数有$1$，共$1$个，即有$1$个逆序。
    • 对于数字$1$，后面没有比$1$小的数，逆序个数为$0$。
    • 所以逆序数$\tau(34251)=2 + 2 + 1 + 1+0 = 6$。
  4. 由于逆序数$\tau(34251)=6$是偶数，根据行列式定义，$(-1)^{\tau(34251)}=(-1)^6 = 1$，所以该项前面的符号为正号。