题目
设X1,X2,···,Xn是正态总体N(μ,σ^2 )的样本,则 dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2 是 ()-|||-(A)σ^2的无偏估计量; (B)σ^2的最大似然估计量;-|||-(C)σ的无偏估计量; (D)σ的最大似然估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本方差的定义
样本方差定义为 $\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值。样本方差是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量，即 $E\left[\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right] = \sigma^2$。
步骤 2：分析给定的表达式
给定的表达式是 $\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，与样本方差的定义相比，分母是 $n$ 而不是 $n-1$。这意味着它不是无偏估计量，因为 $E\left[\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right] = \dfrac{n-1}{n}\sigma^2$。
步骤 3：确定最大似然估计量
最大似然估计量是通过最大化似然函数得到的估计量。对于正态分布，最大似然估计量的方差是 $\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，即给定的表达式。
样本方差定义为 $\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值。样本方差是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量，即 $E\left[\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right] = \sigma^2$。
步骤 2：分析给定的表达式
给定的表达式是 $\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，与样本方差的定义相比，分母是 $n$ 而不是 $n-1$。这意味着它不是无偏估计量，因为 $E\left[\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right] = \dfrac{n-1}{n}\sigma^2$。
步骤 3：确定最大似然估计量
最大似然估计量是通过最大化似然函数得到的估计量。对于正态分布，最大似然估计量的方差是 $\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，即给定的表达式。