2-|||-×||×x×x|x×x-|||-E C x||xxxx xxx-|||-b B-|||-M`N如图，两平行轨道固定于水平面内，其中MN、M′N′是两小段绝缘材料，其余部分是金属材料，轨道间距为d，轨道间分布着磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。轨道左侧接入包含电动势为E的直流电源、电容为C的电容器、单刀双掷开关S构成的电路，轨道右侧接入自感系数为L的电感线圈。质量为m、电阻为R的金属棒a垂直放置于轨道左侧某处，质量也为m、电阻不计的金属棒b垂直放置于绝缘材料上。现将S接1，待电容器充电完毕后，再将S接2。之后，a运动达到稳定状态，再与b发生弹性碰撞。不考虑其它电阻，不计一切摩擦，忽略电磁辐射，a、b均始终与轨道接触良好。（1）S接通2瞬间，求金属棒a的加速度大小；（2）求金属棒a运动达到稳定状态时的速度大小；（3）某同学查阅教材后得知，电感线圈的自感电动势正比于电流的变化率，由此他猜测金属棒b在运动过程中做简谐运动。请证明。

解：（1）电容器充电完毕后电容器上的电压U=E，开关S接2瞬间，电容器通过金属棒a放电，此时电流为：I=$\frac{U}{R}$
由安培力公式得：F=BId
由牛顿第二定律得：F=ma
解得：a=$\frac{BEd}{mR}$
（2）金属棒a运动达到稳定状态时的速度大小为v₀，当a棒产生的感应电动势等于电容器两端的电压时，即U_a=U_C，a棒做匀速直线运动。
由法拉第电磁感应定律得：U_a=Bdv₀
充电结束时电容器带电量为：q₀=UC=CE
a棒做匀速直线运动时，电容器带电量为：q₁=U_aC
设在Δt（Δt→0）时间内a棒的速度变化为Δv，电容器电量减小量为：Δq=IΔt
以向右为正方向，由动量定理得：BdIΔt=BdΔq=mΔv
对上式两边求和得：Bd（q₀-q₁）=mv₀
解得：v₀=$\frac{BdCE}{m+{B}^{2}{d}^{2}C}$
（3）a 棒与b棒发生弹性碰撞，因两者质量相等，故两者碰撞过程交换速度，碰撞后金属棒a静止在绝缘材料上，b棒以速度v₀开始向右直线运动，与电感线圈L构成回路，初始时刻电流变化率最大，电感线圈L产生的自感电动势最大，近似等于金属棒b产生的感应电动势，回路电流接近为零，因金属棒b的电阻不计，故在极短的瞬间金属棒b产生的感应电动势与电感线圈L产生的自感电动势可认为始终大小相等（动态平衡）。
电感线圈的自感电动势正比于电流的变化率，即E_自感=L$\frac{ΔI}{Δt}$
以b棒开始向右运动时为t=0时刻，设在某时刻t金属棒b的速度为v，在t～t+Δt（Δt→0）时间内，电流的变化量的大小为ΔI，则有：
Bdv=L$\frac{ΔI}{Δt}$
可得：ΔI=$\frac{Bdv}{L}$Δt
对上式两边求和可得：I=$\frac{Bdx}{L}$，其中x为B棒与初始位置的位移。
b棒所受安培力大小为：F=BId=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}x}{L}$
由楞次定律以及题意可知，安培力方向与b棒位移x方向始终相反，可知在金属棒b运动过程中安培力满足做简谐运动需要的回复力，故金属棒b在运动过程中做简谐运动，金属棒b返回到初始位置以速度大小v₀与金属棒a碰撞后重复之前的简谐运动。
答：（1）S接通2瞬间，金属棒a的加速度大小为$\frac{BEd}{mR}$；
（2）金属棒a运动达到稳定状态时的速度大小为$\frac{BdCE}{m+{B}^{2}{d}^{2}C}$；
（3）见解析。