题目
波长为 lambda 的平行单色光垂直照射到劈尖形薄膜上，若劈尖的夹角为 theta，劈形膜的折射率为 n，第 k 级明条纹与第 k+5 级明纹之间的距离是 ________。
波长为 $\lambda$ 的平行单色光垂直照射到劈尖形薄膜上，若劈尖的夹角为 $\theta$，劈形膜的折射率为 $n$，第 $k$ 级明条纹与第 $k+5$ 级明纹之间的距离是 ________。
题目解答
答案
根据劈尖干涉条件，明条纹满足：
\[
d = \frac{(2m - 1) \lambda}{4n}
\]
结合几何关系$d = x \theta$，可得：
\[
x = \frac{(2m - 1) \lambda}{4n \theta}
\]
第k级明条纹位置为：
\[
x_k = \frac{(2k - 1) \lambda}{4n \theta}
\]
第k+5级明条纹位置为：
\[
x_{k+5} = \frac{(2k + 9) \lambda}{4n \theta}
\]
两者间距为：
\[
\Delta x = x_{k+5} - x_k = \frac{5 \lambda}{2n \theta}
\]
答案：$\frac{5 \lambda}{2n \theta}$
解析
本题考查劈尖干涉的相关知识。解题的关键思路是先根据劈尖干涉的明条纹条件得出光程差与条纹级数的关系，再结合劈尖的几何关系得到条纹位置与级数的表达式，最后通过计算相邻特定级数条纹位置的差值来求出它们之间的距离。
- 推导明条纹位置公式：
- 对于劈尖干涉，当光垂直照射时，明条纹满足的光程差条件为$2nd+\frac{\lambda}{2}=(2m - 1)\frac{\lambda}{2}$（其中$d$为薄膜厚度，$m$为条纹级数）。
- 化简该式可得：
$\begin{align*}2nd+\frac{\lambda}{2}&=(2m - 1)\frac{\lambda}{2}\\2nd&=(2m - 1)\frac{\lambda}{2}-\frac{\lambda}{2}\\2nd&=(2m - 2)\frac{\lambda}{2}\\2nd&=(m - 1)\lambda\\d&=\frac{(2m - 1)\lambda}{4n}\end{align*}$ - 由于劈尖的几何关系$d = x\theta$（$x$为条纹到劈尖棱边的距离，$\theta$为劈尖夹角），将$d = x\theta$代入$d=\frac{(2m - 1)\lambda}{4n}$，可得$x\theta=\frac{(2m - 1)\lambda}{4n}$，进一步得到条纹位置$x$的表达式为$x = \frac{(2m - 1)\lambda}{4n\theta}$。
- 计算第$k$级和第$k + 5$级明条纹的位置：
- 当$m = k$时，第$k$级明条纹位置$x_k$为$x_k = \frac{(2k - 1)\lambda}{4n\theta}$。
- 当$m = k + 5$时，第$k + 5$级明条纹位置$x_{k + 5}$为$x_{k + 5} = \frac{[2(k + 5) - 1]\lambda}{4n\theta}=\frac{(2k + 10 - 1)\lambda}{4n\theta}=\frac{(2k + 9)\lambda}{4n\theta}$。
- 计算第$k$级明条纹与第$k + 5$级明纹之间的距离$\Delta x$：
- 两者间距$\Delta x = x_{k + 5} - x_k$，将$x_{k + 5} = \frac{(2k + 9)\lambda}{4n\theta}$和$x_k = \frac{(2k - 1)\lambda}{4n\theta}$代入可得：
$\begin{align*}\Delta x&=\frac{(2k + 9)\lambda}{4n\theta}-\frac{(2k - 1)\lambda}{4n\theta}\\&=\frac{(2k + 9 - 2k + 1)\lambda}{4n\theta}\\&=\frac{10\lambda}{4n\theta}\\&=\frac{5\lambda}{2n\theta}\end{align*}$
- 两者间距$\Delta x = x_{k + 5} - x_k$，将$x_{k + 5} = \frac{(2k + 9)\lambda}{4n\theta}$和$x_k = \frac{(2k - 1)\lambda}{4n\theta}$代入可得：