题目

2.简答题一边长为a米的正方形薄板垂直放入水中，使该板的上边距离水面1米，试求该薄板的一侧所受的水的压力(水的密度为 1000kg/m^3).

2.简答题 一边长为a米的正方形薄板垂直放入水中，使该板的上边距离水面1米，试求该薄板的一侧所受的水的压力(水的密度为$ 1000kg/m^{3}$).

题目解答

答案

将正方形薄板垂直放入水中，上边距水面1米，边长为 $a$ 米。水的密度为 $\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$，重力加速度为 $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$。
薄板一侧所受水的压力可由积分计算：
$F = \int_{1}^{1+a} \rho g y \cdot a \, dy = \rho g a \int_{1}^{1+a} y \, dy = \rho g a \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{1+a} = \rho g a \left( \frac{(1+a)^2 - 1}{2} \right) = \rho g a \left( a + \frac{a^2}{2} \right)$
代入数值得：
$F = 1000 \times 9.8 \times a \left( a + \frac{a^2}{2} \right) = 9800a^2 + 4900a^3$
或表示为：
$F = 4900a^2(2 + a)$

答案：
$\boxed{9800a^2 + 4900a^3}$（或$\boxed{4900a^2(2 + a)}$）

解析

本题考查定积分在物理中的应用，具体是利用定积分计算液体对薄板的压力。解题的关键思路是将薄板分割成许多水平的小窄条，计算每个小窄条所受的水压力，然后通过积分将所有小窄条的压力累加起来得到整个薄板一侧所受的水压力。

  1. 建立坐标系并确定压力微元：
    • 以水面为$y = 0$轴，垂直向下为$y$轴正方向。
    • 在深度为$y$处取一个厚度为$dy$的水平小窄条，该小窄条的面积$dS=a\cdot dy$（因为薄板为正方形，边长为$a$）。
    • 根据液体压强公式$p = \rho gy$（其中$\rho$为水的密度，$g$为重力加速度，$y$为深度），可得该小窄条所受的水压力微元$dF=p\cdot dS=\rho gy\cdot a\cdot dy$。
  2. 确定积分区间并计算积分：
    • 薄板上边距离水面$1$米，下边距离水面$1 + a$米，所以积分区间为$[1,1 + a]$。
    • 对压力微元$dF$在区间$[1,1 + a]$上进行积分，可得薄板一侧所受的水压力$F=\int_{1}^{1 + a}\rho gy\cdot a\cdot dy$。
    • 因为$\rho$、$g$、$a$均为常数，可将其提出积分号外，即$F=\rho ga\int_{1}^{1 + a}y\cdot dy$。
    • 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，对$\int_{1}^{1 + a}y\cdot dy$进行计算：
      $\int_{1}^{1 + a}y\cdot dy=\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{1 + a}=\frac{(1 + a)^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}$。
    • 对$\frac{(1 + a)^{2}}{2}-\frac{1}{2}$进行化简：
      $\begin{align*}\frac{(1 + a)^{2}}{2}-\frac{1}{2}&=\frac{1 + 2a+a^{2}-1}{2}\\&=\frac{2a + a^{2}}{2}\\&=a+\frac{a^{2}}{2}\end{align*}$
    • 所以$F=\rho ga\left(a+\frac{a^{2}}{2}\right)$。
  3. 代入数值计算最终结果：
    • 已知水的密度$\rho = 1000kg/m^{3}$，重力加速度$g = 9.8m/s^{2}$，代入上式可得：
      $F=1000\times9.8\times a\left(a+\frac{a^{2}}{2}\right)=9800a\left(a+\frac{a^{2}}{2}\right)=9800a^{2}+4900a^{3}$。
    • 也可将$9800a^{2}+4900a^{3}$因式分解为$4900a^{2}(2 + a)$。