综 -20 滚子A质量为m1,沿倾角为θ的斜面向下只滚不滑,如图所示。滚子借一跨过-|||-滑轮B的绳提升质量为m2的物体C,同时滑轮B绕O轴转动。滚子A与滑轮B的质量相-|||-等,半径相等,且都为均质圆盘。求滚子重心的加速度和系在滚子上绳的张力。 综 -20 滚子A质量为m1,沿倾角为θ的斜面向下只滚不滑,如图所示。滚子借一跨过-|||-滑轮B的绳提升质量为m2的物体C,同时滑轮B绕O轴转动。滚子A与滑轮B的质量相-|||-等,半径相等,且都为均质圆盘。求滚子重心的加速度和系在滚子上绳的张力。

步骤 1：确定系统动能
系统由滚子A、滑轮B和物体C组成。滚子A和滑轮B都是均质圆盘，因此它们的转动惯量为 $\dfrac{1}{2}mR^2$。滚子A沿斜面滚动，其动能包括平动动能和转动动能。物体C的动能为平动动能。因此，系统的总动能为：
\[ T = \dfrac{1}{2}m_1v^2 + \dfrac{1}{2}I_{A}\omega^2 + \dfrac{1}{2}I_{B}\omega^2 + \dfrac{1}{2}m_2v^2 \]
其中，$I_{A} = \dfrac{1}{2}m_1R^2$，$I_{B} = \dfrac{1}{2}m_1R^2$，$\omega = \dfrac{v}{R}$。将这些值代入上式，得到：
\[ T = \dfrac{1}{2}m_1v^2 + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2\right)\left(\dfrac{v}{R}\right)^2 + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}m_1R^2\right)\left(\dfrac{v}{R}\right)^2 + \dfrac{1}{2}m_2v^2 \]
\[ T = \dfrac{1}{2}m_1v^2 + \dfrac{1}{4}m_1v^2 + \dfrac{1}{4}m_1v^2 + \dfrac{1}{2}m_2v^2 \]
\[ T = \dfrac{1}{2}(2m_1 + m_2)v^2 \]

步骤 2：确定系统总功率
系统总功率由重力和绳子张力的功率组成。滚子A的重力沿斜面的分量为 $m_1g\sin\theta$，物体C的重力为 $m_2g$。因此，系统总功率为：
\[ \sum P = (m_1g\sin\theta - m_2g)v \]

步骤 3：应用功率方程
根据功率方程 $\sum P = \dfrac{dT}{dt}$，我们有：
\[ (m_1g\sin\theta - m_2g)v = \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2}(2m_1 + m_2)v^2\right) \]
\[ (m_1g\sin\theta - m_2g)v = (2m_1 + m_2)av \]
\[ a = \dfrac{m_1g\sin\theta - m_2g}{2m_1 + m_2} \]

步骤 4：确定绳子张力
取滚子A为研究对象，考虑其受力平衡。滚子A受到重力 $m_1g$，绳子张力 $F$，以及沿斜面的摩擦力。由于滚子A只滚不滑，摩擦力不做功。因此，滚子A的受力平衡方程为：
\[ m_1a = m_1g\sin\theta - F - F \]
\[ m_1a = m_1g\sin\theta - 2F \]
将 $a = \dfrac{m_1g\sin\theta - m_2g}{2m_1 + m_2}$ 代入上式，得到：
\[ m_1\left(\dfrac{m_1g\sin\theta - m_2g}{2m_1 + m_2}\right) = m_1g\sin\theta - 2F \]
\[ F = \dfrac{3m_1m_2 + (2m_1m_2 + m_1^2)\sin\theta}{2(2m_1 + m_2)}g \]