题目
根据条件，求前n项和，若an=31-3n，求||||||||a1+|||a2|||+…+|||an||| .
根据条件，求前n项和，若an=31-3n，求||||||||a1+|||a2|||+…+|||an||| .
题目解答
答案
解：根据an=31-3n，得出数列{an} 是等差数列，首项a1=31-3=28，公差为-3，
先判断从第几项开始为负数,
即an=31-3n＜0，解得n＞ 313 ，即从第11项开始为负数,
前10项为正数，||||||||a1+|||a2|||+…+|||a10|||=a1+a2+a3+…+a10 =10×28+ 10×92×(-3)=145
|||a11|||+|||a12|||+...+||||||||an=-(a11+a12+…+an)=-(Sn-S10)=145- (28+31-3n)n2=145- (59-3n)n2
所以|||||||||a1+|||a2|||+…+|||an|||=||||||||a1+|||a2|||+…+|||a10|||+|||a11|||+|||a12|||+...+||||||||an=290- (59-3n)n2
故答案为：290- (59-3n)n2
解析
步骤 1：确定数列的性质
根据给定的通项公式 an = 31 - 3n，可以判断数列 {an} 是一个等差数列，其中首项 a1 = 31 - 3 = 28，公差 d = -3。
步骤 2：确定数列的正负项
为了求解 |||a1||| + |||a2||| + … + |||an|||，我们需要确定数列中从哪一项开始变为负数。为此，我们解不等式 an < 0，即 31 - 3n < 0，解得 n > 31/3。因此，从第 11 项开始，数列的项变为负数。
步骤 3：计算前10项的和
前10项为正数，因此可以直接求和。前10项的和为 S10 = 10 × 28 + (10 × 9 / 2) × (-3) = 145。
步骤 4：计算从第11项到第n项的绝对值和
从第11项开始，数列的项为负数，因此需要计算这些项的绝对值和。绝对值和为 -(a11 + a12 + … + an) = -(Sn - S10) = 145 - (28 + 31 - 3n)n / 2 = 145 - (59 - 3n)n / 2。
步骤 5：求解 |||a1||| + |||a2||| + … + |||an|||
将前10项的和与从第11项到第n项的绝对值和相加，得到 |||a1||| + |||a2||| + … + |||an||| = 290 - (59 - 3n)n / 2。
根据给定的通项公式 an = 31 - 3n，可以判断数列 {an} 是一个等差数列，其中首项 a1 = 31 - 3 = 28，公差 d = -3。
步骤 2：确定数列的正负项
为了求解 |||a1||| + |||a2||| + … + |||an|||，我们需要确定数列中从哪一项开始变为负数。为此，我们解不等式 an < 0，即 31 - 3n < 0，解得 n > 31/3。因此，从第 11 项开始，数列的项变为负数。
步骤 3：计算前10项的和
前10项为正数，因此可以直接求和。前10项的和为 S10 = 10 × 28 + (10 × 9 / 2) × (-3) = 145。
步骤 4：计算从第11项到第n项的绝对值和
从第11项开始，数列的项为负数，因此需要计算这些项的绝对值和。绝对值和为 -(a11 + a12 + … + an) = -(Sn - S10) = 145 - (28 + 31 - 3n)n / 2 = 145 - (59 - 3n)n / 2。
步骤 5：求解 |||a1||| + |||a2||| + … + |||an|||
将前10项的和与从第11项到第n项的绝对值和相加，得到 |||a1||| + |||a2||| + … + |||an||| = 290 - (59 - 3n)n / 2。