3.28 垂直射流 =7.5cm, 射出流速 _(0)=12.2m/s, 打击在一重为171.5N的圆盘上,如图3.52所示,当-|||-圆盘保持平衡时,求y。-|||-G=171.5N-|||-二-|||-vo-|||-1 d=7.5cm-|||-图3.52 习题3.28图

步骤 1：确定射流的动量和圆盘的重力平衡条件
射流打击圆盘时，射流的动量与圆盘的重力平衡。射流的动量流率（动量流）为：
\[ \dot{m}v_0 = \rho A v_0^2 \]
其中，$\rho$ 是流体的密度，$A$ 是射流的截面积，$v_0$ 是射流的初速度。圆盘的重力为 $G$，因此平衡条件为：
\[ \rho A v_0^2 = G \]

步骤 2：计算射流的截面积
射流的截面积 $A$ 可以通过直径 $d$ 计算得到：
\[ A = \frac{\pi d^2}{4} \]
代入 $d = 7.5 \text{ cm} = 0.075 \text{ m}$，得到：
\[ A = \frac{\pi (0.075)^2}{4} = 0.004418 \text{ m}^2 \]

步骤 3：计算射流的动量流率
代入 $v_0 = 12.2 \text{ m/s}$ 和 $A = 0.004418 \text{ m}^2$，得到：
\[ \dot{m}v_0 = \rho A v_0^2 = 1000 \times 0.004418 \times (12.2)^2 = 662.7 \text{ N} \]
其中，$\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$ 是水的密度。

步骤 4：计算圆盘的平衡高度
由于射流的动量流率与圆盘的重力平衡，因此：
\[ 662.7 \text{ N} = 171.5 \text{ N} \]
这表明射流的动量流率已经足够支撑圆盘的重力。接下来，我们需要计算射流在打击圆盘时的高度 $y$。根据伯努利方程，射流在打击圆盘时的速度 $v$ 可以通过以下公式计算：
\[ v = \sqrt{2gy} \]
其中，$g$ 是重力加速度，$y$ 是射流打击圆盘时的高度。由于射流的动量流率与圆盘的重力平衡，因此：
\[ \rho A v^2 = G \]
代入 $v = \sqrt{2gy}$，得到：
\[ \rho A (2gy) = G \]
代入 $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$，$A = 0.004418 \text{ m}^2$，$G = 171.5 \text{ N}$，$g = 9.81 \text{ m/s}^2$，得到：
\[ 1000 \times 0.004418 \times 2 \times 9.81 \times y = 171.5 \]
解得：
\[ y = \frac{171.5}{1000 \times 0.004418 \times 2 \times 9.81} = 5.61 \text{ m} \]