题目
x→-|||-o简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m的物体在受到形如F=-kx的回复力作用下，物体的位移x与时间t遵循x=Asinωt变化规律的运动，其中角频率ω=(2π)/(T)=sqrt((k)/(m))（k为常数，A为振幅，T为周期）。弹簧振子的运动就是其典型代表。如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止时所在位置为O。另一质量为m的小球B从距A为H的P点由静止开始下落，与A发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为EP=(1)/(2)k(x)^2。已知H=(3mg)/(k)，重力加速度为g。求：（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度；（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离；（3）a.请判断两小球一起向下运动的过程是否是简谐运动，并说明理由。b.小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间t。
简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m的物体在受到形如F=-kx的回复力作用下，物体的位移x与时间t遵循x=Asinωt变化规律的运动，其中角频率ω=$\frac{2π}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}$（k为常数，A为振幅，T为周期）。弹簧振子的运动就是其典型代表。如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止时所在位置为O。另一质量为m的小球B从距A为H的P点由静止开始下落，与A发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为EP=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$。已知H=$\frac{3mg}{k}$，重力加速度为g。
求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离；
（3）a.请判断两小球一起向下运动的过程是否是简谐运动，并说明理由。
b.小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间t。
题目解答
答案
解：（1）小球B自由下落H的速度为vB，根据动能定理可得：mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：vB=$\sqrt{2gH}$
小球B与小球A碰撞过程动量守恒，取向下为正，则有：mvB+0=（m+m）v1
解得：v1=$\sqrt{\frac{3m{g}^{2}}{2k}}$
（2）小球A在O位置，弹簧被压缩x0，则 x0=$\frac{mg}{k}$小球A与小球B共同体继续向下运动离O点的最大距离为xm，根据机械能守恒定律可得：$\frac{1}{2}×2m×{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$+2mgxm=$\frac{1}{2}k（{x}_{0}+{x}_{m}）^{2}$
由mg=kx0
整理得：${x}_{m}^{2}$−2x0xm−$3{x}_{0}^{2}$=0
解得：xm=3x0，xm=-x0（舍去）
即：xm=$\frac{3mg}{k}$
（3）两个小球一起向下运动过程中，所受的合力为F=2mg-kx′，而弹簧的压缩量x′=x0+Δx=$\frac{2mg}{k}$+Δx（Δx是相对两个小球的平衡位置的位移）
联立得到：F=k×Δx∝Δx，于是小球向下的运动是简谐运动。
由题意振动周期：T=2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$，又振幅A=2x0=$\frac{2mg}{k}$
所以平衡位置在弹簧压缩2x0处，从碰撞后开始到再次回到O点的振动图象如图：
从O点开始到平衡位置经过的时间：t1=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}T$=$\frac{1}{12}T$
所求时间：t=2t1+$\frac{1}{2}$T=$\frac{2}{3}T$
解得：t=$\frac{2}{3}$×2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$=$\frac{4π}{3}\sqrt{\frac{2m}{k}}$。
答：（1）小球B与小球A碰撞后瞬间一起向下运动的速度为$\sqrt{\frac{3m{g}^{2}}{2k}}$；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离为$\frac{3mg}{k}$；
（3）小球做简谐运动（证明见解析），小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间为$\frac{4π}{3}\sqrt{\frac{2m}{k}}$。
解得：vB=$\sqrt{2gH}$
小球B与小球A碰撞过程动量守恒，取向下为正，则有：mvB+0=（m+m）v1
解得：v1=$\sqrt{\frac{3m{g}^{2}}{2k}}$
（2）小球A在O位置，弹簧被压缩x0，则 x0=$\frac{mg}{k}$小球A与小球B共同体继续向下运动离O点的最大距离为xm，根据机械能守恒定律可得：$\frac{1}{2}×2m×{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$+2mgxm=$\frac{1}{2}k（{x}_{0}+{x}_{m}）^{2}$
由mg=kx0
整理得：${x}_{m}^{2}$−2x0xm−$3{x}_{0}^{2}$=0
解得：xm=3x0，xm=-x0（舍去）
即：xm=$\frac{3mg}{k}$
（3）两个小球一起向下运动过程中，所受的合力为F=2mg-kx′，而弹簧的压缩量x′=x0+Δx=$\frac{2mg}{k}$+Δx（Δx是相对两个小球的平衡位置的位移）
联立得到：F=k×Δx∝Δx，于是小球向下的运动是简谐运动。
由题意振动周期：T=2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$，又振幅A=2x0=$\frac{2mg}{k}$
所以平衡位置在弹簧压缩2x0处，从碰撞后开始到再次回到O点的振动图象如图：
从O点开始到平衡位置经过的时间：t1=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}T$=$\frac{1}{12}T$
所求时间：t=2t1+$\frac{1}{2}$T=$\frac{2}{3}T$
解得：t=$\frac{2}{3}$×2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$=$\frac{4π}{3}\sqrt{\frac{2m}{k}}$。
答：（1）小球B与小球A碰撞后瞬间一起向下运动的速度为$\sqrt{\frac{3m{g}^{2}}{2k}}$；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离为$\frac{3mg}{k}$；
（3）小球做简谐运动（证明见解析），小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间为$\frac{4π}{3}\sqrt{\frac{2m}{k}}$。
解析
步骤 1：计算小球B自由下落的速度
小球B从P点自由下落，根据动能定理，重力势能转化为动能，可得：
mgH = $\frac{1}{2}mv_B^2$
解得：v_B = $\sqrt{2gH}$
步骤 2：计算碰撞后两球的共同速度
小球B与小球A碰撞，动量守恒，设碰撞后两球的共同速度为v_1，则有：
mv_B = 2mv_1
解得：v_1 = $\frac{1}{2}v_B$ = $\sqrt{\frac{3m{g}^{2}}{2k}}$
步骤 3：计算小球A被碰后向下运动离O点的最大距离
小球A在O位置时，弹簧被压缩x_0，根据平衡条件，有：
mg = kx_0
解得：x_0 = $\frac{mg}{k}$
小球A与小球B碰撞后，继续向下运动，设离O点的最大距离为x_m，根据机械能守恒定律，有：
$\frac{1}{2}×2m×v_1^2$ + $\frac{1}{2}kx_0^2$ + 2mgx_m = $\frac{1}{2}k(x_0 + x_m)^2$
解得：x_m = 3x_0 = $\frac{3mg}{k}$
步骤 4：判断两小球一起向下运动的过程是否是简谐运动
两小球一起向下运动过程中，所受的合力为F = 2mg - kx'，其中x' = x_0 + Δx，Δx是相对两小球的平衡位置的位移。联立得到：F = kΔx ∝ Δx，因此小球向下的运动是简谐运动。
步骤 5：计算小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间t
由题意振动周期T = 2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$，振幅A = 2x_0 = $\frac{2mg}{k}$。平衡位置在弹簧压缩2x_0处，从碰撞后开始到再次回到O点的振动图象如图。从O点开始到平衡位置经过的时间t_1 = $\frac{1}{3}×\frac{1}{4}T$ = $\frac{1}{12}T$。所求时间t = 2t_1 + $\frac{1}{2}$T = $\frac{2}{3}T$。解得：t = $\frac{4π}{3}\sqrt{\frac{2m}{k}}$。
小球B从P点自由下落，根据动能定理，重力势能转化为动能，可得：
mgH = $\frac{1}{2}mv_B^2$
解得：v_B = $\sqrt{2gH}$
步骤 2：计算碰撞后两球的共同速度
小球B与小球A碰撞，动量守恒，设碰撞后两球的共同速度为v_1，则有：
mv_B = 2mv_1
解得：v_1 = $\frac{1}{2}v_B$ = $\sqrt{\frac{3m{g}^{2}}{2k}}$
步骤 3：计算小球A被碰后向下运动离O点的最大距离
小球A在O位置时，弹簧被压缩x_0，根据平衡条件，有：
mg = kx_0
解得：x_0 = $\frac{mg}{k}$
小球A与小球B碰撞后，继续向下运动，设离O点的最大距离为x_m，根据机械能守恒定律，有：
$\frac{1}{2}×2m×v_1^2$ + $\frac{1}{2}kx_0^2$ + 2mgx_m = $\frac{1}{2}k(x_0 + x_m)^2$
解得：x_m = 3x_0 = $\frac{3mg}{k}$
步骤 4：判断两小球一起向下运动的过程是否是简谐运动
两小球一起向下运动过程中，所受的合力为F = 2mg - kx'，其中x' = x_0 + Δx，Δx是相对两小球的平衡位置的位移。联立得到：F = kΔx ∝ Δx，因此小球向下的运动是简谐运动。
步骤 5：计算小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间t
由题意振动周期T = 2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$，振幅A = 2x_0 = $\frac{2mg}{k}$。平衡位置在弹簧压缩2x_0处，从碰撞后开始到再次回到O点的振动图象如图。从O点开始到平衡位置经过的时间t_1 = $\frac{1}{3}×\frac{1}{4}T$ = $\frac{1}{12}T$。所求时间t = 2t_1 + $\frac{1}{2}$T = $\frac{2}{3}T$。解得：t = $\frac{4π}{3}\sqrt{\frac{2m}{k}}$。