某一均匀平面波在理想介质中沿+z方向传播，其电场强度为:[ vec(E)(z,t) = vec(e)_x ( 2pi times 10^8 t - kz + (pi)/(3) ) , (V/m) ]介质参数为: 相对介电常数varepsilon_r = 4，相对磁导率mu_r = 1，电导率sigma = 0。请计算:(1) 波的角频率omega与频率f;(2) 波数k和相位常数beta;(3) 相速v_p和波长lambda;(4) 介质的波阻抗eta以及对应的磁场强度表达式;(5) 平均坡印廷矢量vec(S)_(av)。(6) 若此波在z=0处垂直入射到理想导体表面，求反射波电场表达式。
某一均匀平面波在理想介质中沿$+z$方向传播，其电场强度为:
$\vec{E}(z,t) = \vec{e}_x \left( 2\pi \times 10^8 t - kz + \frac{\pi}{3} \right) \, \text{V/m}$
介质参数为: 相对介电常数$\varepsilon_r = 4$，相对磁导率$\mu_r = 1$，电导率$\sigma = 0$。
请计算:
(1) 波的角频率$\omega$与频率$f$;
(2) 波数$k$和相位常数$\beta$;
(3) 相速$v_p$和波长$\lambda$;
(4) 介质的波阻抗$\eta$以及对应的磁场强度表达式;
(5) 平均坡印廷矢量$\vec{S}_{av}$。
(6) 若此波在$z=0$处垂直入射到理想导体表面，求反射波电场表达式。
题目解答
答案
以下是本题的完整解答，按问题顺序结构化呈现：
(1) 角频率 ω 与频率 f
从电场表达式 $\vec{E}(z, t) = \vec{e}_x \cos(2\pi \times 10^8 t - k z + \frac{\pi}{3})$ 直接读取：
- 角频率：$\omega = 2\pi \times 10^8 \, \text{rad/s}$
- 频率：$f = \frac{\omega}{2\pi} = 10^8 \, \text{Hz}$
(2) 波数 k 与相位常数 β
介质无损耗（σ=0），波数等于相位常数：
$k = \beta = \omega \sqrt{\mu \varepsilon} = \omega \sqrt{\mu_0 \cdot 4\varepsilon_0} = \frac{2\omega}{c} = \frac{4\pi}{3} \, \text{rad/m}$
(3) 相速 $v_p$ 与波长 $\lambda$
- 相速：$v_p = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \frac{c}{2} = 1.5 \times 10^8 \, \text{m/s}$
- 波长：$\lambda = \frac{2\pi}{\beta} = 1.5 \, \text{m}$
(4) 波阻抗 η 与磁场强度 $\vec{H}(z,t)$
- 波阻抗：$\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} = \frac{\eta_0}{2} = 60\pi \, \Omega$
- 磁场方向由右手定则确定为 $+\vec{e}_y$，幅值为 $E_0 / \eta$，故：
$\vec{H}(z, t) = \vec{e}_y \frac{1}{60\pi} \cos\left(2\pi \times 10^8 t - \frac{4\pi}{3} z + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{A/m}$
(5) 平均坡印廷矢量 $\vec{S}_{av}$
对于沿 z 方向传播的均匀平面波：
$\vec{S}_{av} = \frac{E_0^2}{2\eta} \vec{e}_z = \frac{1}{120\pi} \vec{e}_z \, \text{W/m}^2$
(6) 反射波电场表达式（z=0 处垂直入射理想导体）
理想导体反射系数 $\Gamma = -1$，反射波沿 -z 方向传播，相位与入射波在边界处匹配：
$\vec{E}_r(z, t) = -\vec{e}_x \cos\left(2\pi \times 10^8 t + \frac{4\pi}{3} z + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{V/m}$
解析
本题主要考查均匀平面波在理想介质中的传播特性，包括角频率、频率、波数、相位常数、相速、波长、波阻抗、磁场强度、平均坡印廷矢量以及反射波电场表达式的计算。解题思路是根据均匀平面波的相关公式，结合题目所给的电场表达式和介质参数进行逐步计算。
(1) 波的角频率$\omega$与频率$f$
均匀平面波的电场强度表达式一般形式为$\vec{E}(z,t)=\vec{e}_x E_0\cos(\omega t - kz + \varphi_0)$，与题目所给电场强度表达式$\vec{E}(z,t) = \vec{e}_x \cos(2\pi \times 10^8 t - kz + \frac{\pi}{3})$对比，可直接得出角频率$\omega$。
- 角频率：$\omega = 2\pi \times 10^8 \, \text{rad/s}$
根据频率与角频率的关系$f = \frac{\omega}{2\pi}$，可得频率$f$。 - 频率：$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2\pi \times 10^8}{2\pi} = 10^8 \, \text{Hz}$
(2) 波数$k$和相位常数$\beta$
在理想介质中（$\sigma = 0$），波数$k$等于相位常数$\beta$，且$k = \beta = \omega \sqrt{\mu \varepsilon}$。已知相对介电常数$\varepsilon_r = 4$，相对磁导率$\mu_r = 1$，则$\mu = \mu_0$，$\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0 = 4\varepsilon_0$。
又因为$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$，所以$k = \beta = \omega \sqrt{\mu_0 \cdot 4\varepsilon_0} = 2\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = \frac{2\omega}{c}$。
将$\omega = 2\pi \times 10^8 \, \text{rad/s}$，$c = 3\times 10^8 \, \text{m/s}$代入可得：
$k = \beta = \frac{2\times 2\pi \times 10^8}{3\times 10^8} = \frac{4\pi}{3} \, \text{rad/m}$
(3) 相速$v_p$和波长$\lambda$
相速$v_p$的计算公式为$v_p = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$，将$\mu = \mu_0$，$\varepsilon = 4\varepsilon_0$代入可得：
$v_p = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \cdot 4\varepsilon_0}} = \frac{1}{2\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{c}{2} = \frac{3\times 10^8}{2} = 1.5 \times 10^8 \, \text{m/s}$
波长$\lambda$与波数$\beta$的关系为$\lambda = \frac{2\pi}{\beta}$，将$\beta = \frac{4\pi}{3} \, \text{rad/m}$代入可得：
$\lambda = \frac{2\pi}{\frac{4\pi}{3}} = 1.5 \, \text{m}$
(4) 介质的波阻抗$\eta$以及对应的磁场强度表达式
波阻抗$\eta$的计算公式为$\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}$，将$\mu = \mu_0$，$\varepsilon = 4\varepsilon_0$代入可得：
$\eta = \sqrt{\frac{\mu_0}{4\varepsilon_0}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = \frac{\eta_0}{2}$
其中$\eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 120\pi \, \Omega$，所以$\eta = \frac{120\pi}{2} = 60\pi \, \Omega$。
根据右手定则，电场强度$\vec{E}$沿$+\vec{e}_x$方向，波沿$+z$方向传播，则磁场强度$\vec{H}$沿$+\vec{e}_y$方向。磁场强度的幅值为$H_0 = \frac{E_0}{\eta}$，已知$E_0 = 1 \, \text{V/m}$，所以$H_0 = \frac{1}{60\pi} \, \text{A/m}$。
则磁场强度表达式为$\vec{H}(z, t) = \vec{e}_y \frac{1}{60\pi} \cos\left(2\pi \times 10^8 t - \frac{4\pi}{3} z + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{A/m}$
(5) 平均坡印廷矢量$\vec{S}_{av}$
对于沿$z$方向传播的均匀平面波，平均坡印廷矢量$\vec{S}_{av}$的计算公式为$\vec{S}_{av} = \frac{E_0^2}{2\eta} \vec{e}_z$，将$E_0 = 1 \, \text{V/m}$，$\eta = 60\pi \, \Omega$代入可得：
$\vec{S}_{av} = \frac{1^2}{2\times 60\pi} \vec{e}_z = \frac{1}{120\pi} \vec{e}_z \, \text{W/m}^2$
(6) 若此波在$z=0$处垂直入射到理想导体表面，求反射波电场表达式
理想导体的反射系数$\Gamma = -1$，反射波沿$-z$方向传播，其电场强度表达式一般形式为$\vec{E}_r(z,t)=\vec{e}_x E_{r0}\cos(\omega t + kz + \varphi_0)$。
因为反射系数$\Gamma = -1$，所以反射波电场强度的幅值$E_{r0} = -E_0 = -1 \, \text{V/m}$。
在$z = 0$处，反射波与入射波的相位相同，所以反射波的相位为$\omega t + \frac{\pi}{3}$。
则反射波电场表达式为$\vec{E}_r(z, t) = -\vec{e}_x \cos\left(2\pi \times 10^8 t + \frac{4\pi}{3} z + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{V/m}$