题目
填空题（共10题，25.0分）25.（2.5分）y'+xtan(y)/(x)-y=0是____方程
填空题（共10题，25.0分）
25.（2.5分）
$y'+x\tan\frac{y}{x}-y=0$是____方程
题目解答
答案
将方程改写为 $ y' = y - x \tan \frac{y}{x} $。令 $ u = \frac{y}{x} $，则 $ y = ux $，代入方程得：
\[ u + x \frac{du}{dx} = x(u - \tan u) \]
整理后发现方程可表示为 $ x \frac{du}{dx} = f(u) $，其中 $ f(u) $ 是关于 $ u $ 的函数。此形式符合齐次微分方程的定义，即 $ y' = f\left(\frac{y}{x}\right) $。
**答案：**
\[
\boxed{\text{齐次微分方程}}
\]
解析
步骤 1：方程形式分析
给定方程 $y' + x\tan\frac{y}{x} - y = 0$ 可以重写为 $y' = y - x\tan\frac{y}{x}$。观察方程右边，可以看到 $y$ 和 $x$ 的关系是通过 $\frac{y}{x}$ 来表达的，这提示我们方程可能具有某种特殊形式。
步骤 2：变量替换
为了进一步分析方程，我们引入变量替换 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$。对 $y$ 关于 $x$ 求导，得到 $y' = u + x\frac{du}{dx}$。将 $y'$ 和 $y$ 的表达式代入原方程，得到 $u + x\frac{du}{dx} = x(u - \tan u)$。
步骤 3：方程简化
简化上述方程，得到 $x\frac{du}{dx} = -x\tan u$，即 $\frac{du}{dx} = -\tan u$。这表明方程可以表示为 $x\frac{du}{dx} = f(u)$ 的形式，其中 $f(u)$ 是关于 $u$ 的函数。这种形式的方程符合齐次微分方程的定义，即 $y' = f\left(\frac{y}{x}\right)$。
给定方程 $y' + x\tan\frac{y}{x} - y = 0$ 可以重写为 $y' = y - x\tan\frac{y}{x}$。观察方程右边，可以看到 $y$ 和 $x$ 的关系是通过 $\frac{y}{x}$ 来表达的，这提示我们方程可能具有某种特殊形式。
步骤 2：变量替换
为了进一步分析方程，我们引入变量替换 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$。对 $y$ 关于 $x$ 求导，得到 $y' = u + x\frac{du}{dx}$。将 $y'$ 和 $y$ 的表达式代入原方程，得到 $u + x\frac{du}{dx} = x(u - \tan u)$。
步骤 3：方程简化
简化上述方程，得到 $x\frac{du}{dx} = -x\tan u$，即 $\frac{du}{dx} = -\tan u$。这表明方程可以表示为 $x\frac{du}{dx} = f(u)$ 的形式，其中 $f(u)$ 是关于 $u$ 的函数。这种形式的方程符合齐次微分方程的定义，即 $y' = f\left(\frac{y}{x}\right)$。