25.设螺旋形弹簧的方程为x=acost，y=asint，z=kt，其中t∈[0,2π]，线密度ρ(x,y,z)=x²+y²+z³，求弹簧对z轴的转动惯量I_(z).(9分)

为了求出螺旋形弹簧对 $z$-轴的转动惯量 $I_z$，我们首先回顾转动惯量的定义。对于一条曲线 $C$，其线密度为 $\rho(x, y, z)$，对 $z$-轴的转动惯量由下式给出： \[ I_z = \int_C (x^2 + y^2) \rho(x, y, z) \, ds \] 其中 $ds$ 是曲线的弧长元素。对于由参数方程 $x = x(t)$，$y = y(t)$，和 $z = z(t)$ 给出的曲线，弧长元素 $ds$ 为： \[ ds = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2} \, dt \] 对于给定的螺旋形弹簧，参数方程为 $x = a \cos t$，$y = a \sin t$，和 $z = kt$，其中 $t \in [0, 2\pi]$。线密度为 $\rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^3$。首先，我们计算导数： \[ \frac{dx}{dt} = -a \sin t, \quad \frac{dy}{dt} = a \cos t, \quad \frac{dz}{dt} = k \] 因此，弧长元素 $ds$ 为： \[ ds = \sqrt{(-a \sin t)^2 + (a \cos t)^2 + k^2} \, dt = \sqrt{a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t + k^2} \, dt = \sqrt{a^2 + k^2} \, dt \] 接下来，我们将 $x = a \cos t$，$y = a \sin t$，和 $z = kt$ 代入线密度 $\rho(x, y, z)$： \[ \rho(x, y, z) = (a \cos t)^2 + (a \sin t)^2 + (kt)^3 = a^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) + k^3 t^3 = a^2 + k^3 t^3 \] 现在，我们将 $x = a \cos t$，$y = a \sin t$，$\rho(x, y, z) = a^2 + k^3 t^3$，和 $ds = \sqrt{a^2 + k^2} \, dt$ 代入转动惯量的积分： \[ I_z = \int_C (x^2 + y^2) \rho(x, y, z) \, ds = \int_0^{2\pi} \left( (a \cos t)^2 + (a \sin t)^2 \right) (a^2 + k^3 t^3) \sqrt{a^2 + k^2} \, dt \] 在积分内简化，我们得到： \[ I_z = \int_0^{2\pi} a^2 (a^2 + k^3 t^3) \sqrt{a^2 + k^2} \, dt = a^2 \sqrt{a^2 + k^2} \int_0^{2\pi} (a^2 + k^3 t^3) \, dt \] 我们可以将积分分为两部分： \[ I_z = a^2 \sqrt{a^2 + k^2} \left( \int_0^{2\pi} a^2 \, dt + \int_0^{2\pi} k^3 t^3 \, dt \right) \] 分别计算每一部分，我们得到： \[ \int_0^{2\pi} a^2 \, dt = a^2 t \bigg|_0^{2\pi} = 2\pi a^2 \] \[ \int_0^{2\pi} k^3 t^3 \, dt = k^3 \frac{t^4}{4} \bigg|_0^{2\pi} = k^3 \frac{(2\pi)^4}{4} = 4\pi^4 k^3 \] 将这些结果相加，我们有： \[ I_z = a^2 \sqrt{a^2 + k^2} \left( 2\pi a^2 + 4\pi^4 k^3 \right) = 2\pi a^4 \sqrt{a^2 + k^2} + 4\pi^4 a^2 k^3 \sqrt{a^2 + k^2} \] 因此，弹簧对 $z$-轴的转动惯量为： \[ \boxed{2\pi a^4 \sqrt{a^2 + k^2} + 4\pi^4 a^2 k^3 \sqrt{a^2 + k^2}} \]