质点沿直线运动，加速度=4-(t)^2，式中a的单位为=4-(t)^2，t的单位为s。如果当时t=3s时，x=9m，v=2m/s，求质点的运动方程.

本题考查的是根据质点的加速度求运动方程，解题的关键在于利用加速度与速度、速度与位移的积分关系，结合已知的初始条件来确定积分常数。

1. 根据加速度求速度：
   • 加速度$a$是速度$v$对时间$t$的导数，即$a = \frac{dv}{dt}$，那么$dv = a dt$。
   • 已知$a = 4 - t^{2}$，对其两边进行积分可得：
     $\int_{v_0}^{v}dv=\int_{0}^{t}(4 - t^{2})dt$
   • 先计算右边的积分：
     $\int_{0}^{t}(4 - t^{2})dt=\int_{0}^{t}4dt-\int_{0}^{t}t^{2}dt$
     根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$\int_{0}^{t}4dt=4t\big|_{0}^{t}=4t$，$\int_{0}^{t}t^{2}dt=\frac{t^{3}}{3}\big|_{0}^{t}=\frac{t^{3}}{3}$。
     所以$\int_{0}^{t}(4 - t^{2})dt = 4t-\frac{t^{3}}{3}$。
   • 则$v - v_0=4t-\frac{t^{3}}{3}$，即$v = 4t-\frac{t^{3}}{3}+v_0$，这里$v_0$是积分常数。
   • 已知当$t = 3s$时，$v = 2m/s$，将其代入上式可得：
     $2=4\times3-\frac{3^{3}}{3}+v_0$
     $2 = 12 - 9+v_0$
     $2=3 + v_0$
     解得$v_0=-1m/s$。
   • 所以速度$v$的表达式为$v = 4t-\frac{t^{3}}{3}-1$。
2. 根据速度求位移：
   • 速度$v$是位移$x$对时间$t$的导数，即$v=\frac{dx}{dt}$，那么$dx = v dt$。
   • 对$v = 4t-\frac{t^{3}}{3}-1$两边进行积分可得：
     $\int_{x_0}^{x}dx=\int_{0}^{t}(4t-\frac{t^{3}}{3}-1)dt$
   • 先计算右边的积分：
     $\int_{0}^{t}(4t-\frac{t^{3}}{3}-1)dt=\int_{0}^{t}4tdt-\int_{0}^{t}\frac{t^{3}}{3}dt-\int_{0}^{t}1dt$
     根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$\int_{0}^{t}4tdt=4\times\frac{t^{2}}{2}\big|_{0}^{t}=2t^{2}$，$\int_{0}^{t}\frac{t^{3}}{3}dt=\frac{1}{3}\times\frac{t^{4}}{4}\big|_{0}^{t}=\frac{t^{4}}{12}$，$\int_{0}^{t}1dt=t\big|_{0}^{t}=t$。
     所以$\int_{0}^{t}(4t-\frac{t^{3}}{3}-1)dt=2t^{2}-\frac{t^{4}}{12}-t$。
   • 则$x - x_0=2t^{2}-\frac{t^{4}}{12}-t$，即$x = 2t^{2}-\frac{t^{4}}{12}-t+x_0$，这里$x_0$是积分常数。
   • 已知当$t = 3s$时，$x = 9m$，将其代入上式可得：
     $9=2\times3^{2}-\frac{3^{4}}{12}-3+x_0$
     $9 = 18-\frac{81}{12}-3+x_0$
     $9=15-\frac{27}{4}+x_0$
     $9=\frac{60 - 27}{4}+x_0$
     $9=\frac{33}{4}+x_0$
     解得$x_0=\frac{3}{4}m$。
   • 所以质点的运动方程为$x = 2t^{2}-\frac{t^{4}}{12}-t+\frac{3}{4}$。