2023.13.已知lim_(xto0)(f(x))/(1-cos x)=1，则lim_(xto0)(f(x))/(e^x^(2)-1)=____

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换的应用，以及如何利用已知极限条件推导函数的近似表达式。

解题核心思路：

1. 由已知条件 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - \cos x} = 1$，结合等价无穷小 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，可确定 $f(x)$ 的近似表达式。
2. 将 $f(x)$ 的近似表达式代入目标极限 $\frac{f(x)}{e^{x^2} - 1}$，并利用等价无穷小 $e^{x^2} - 1 \sim x^2$ 进行替换，最终化简求解。

破题关键点：

• 正确选择等价无穷小，并注意替换的适用条件（如乘除运算中的整体替换）。
• 通过已知极限条件建立 $f(x)$ 的近似表达式，避免直接求 $f(x)$ 的具体形式。

步骤1：确定 $f(x)$ 的近似表达式
由已知 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - \cos x} = 1$，当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，因此可得：
$f(x) \sim 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}.$

步骤2：分析目标极限的分母
当 $x \to 0$ 时，$e^{x^2} - 1$ 的等价无穷小为：
$e^{x^2} - 1 \sim x^2.$

步骤3：代入近似表达式并化简
将 $f(x) \sim \frac{x^2}{2}$ 和 $e^{x^2} - 1 \sim x^2$ 代入目标极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{e^{x^2} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$