题目

冲天炉热风管，内外径分别为160和170mm，lambda_(1)=58.2mathrm(~W)/(mathrm(m)cdot^circmathrm(C))。外包覆两层保温材料。里层delta_(2)=30mathrm(~mm)，lambda_(2)=0.175mathrm(~W)/(mathrm(m)cdot^circmathrm(C))。外层delta_(3)=50mathrm(~mm)，lambda_(3)=0.0932mathrm(~W)/(mathrm(m)cdot^circmathrm(C))。测得t_(1)=200^circmathrm(C)，t_(4)=50^circmathrm(C)。求每米热风管的热损失及t_(2)和t_(3)。[(Q)/(l)=(ln(d_(2)/d_(1)))/(2pilambda_(1))+(ln(d_(3)/d_(2)))/(2pilambda_(2))+(ln(d_(4)/d_(3)))/(2pilambda_(3))=168(W)/(m)][(Q)/(l)=(t_(1)-t_(2))/(2pilambda_(1));.....t_(2)=t_(1)-(Q)/(l)(ln(d_(2)/d_(1)))/(2pilambda_(1))approx200^circmathrm(C)][(Q)/(l)=(t_(2)-t_(3))/(2pilambda_(2));.....t_(3)=t_(2)-(Q)/(l)(ln(d_(3)/d_(2)))/(2pilambda_(2))=154^circmathrm(C)]

冲天炉热风管，内外径分别为160和170mm，$\lambda_{1}=58.2\mathrm{~W}/(\mathrm{m}\cdot^{\circ}\mathrm{C})$。外包覆两层保温材料。里层$\delta_{2}=30\mathrm{~mm}$，$\lambda_{2}=0.175\mathrm{~W}/(\mathrm{m}\cdot^{\circ}\mathrm{C})$。外层$\delta_{3}=50\mathrm{~mm}$，$\lambda_{3}=0.0932\mathrm{~W}/(\mathrm{m}\cdot^{\circ}\mathrm{C})$。测得$t_{1}=200^{\circ}\mathrm{C}$，$t_{4}=50^{\circ}\mathrm{C}$。求每米热风管的热损失及$t_{2}$和$t_{3}$。

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\frac{Q}{l}=\frac{\ln(d_{2}/d_{1})}{2\pi\lambda_{1}}+\frac{\ln(d_{3}/d_{2})}{2\pi\lambda_{2}}+\frac{\ln(d_{4}/d_{3})}{2\pi\lambda_{3}}=168\frac{W}{m}
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\frac{Q}{l}=\frac{t_{1}-t_{2}}{2\pi\lambda_{1}};.....t_{2}=t_{1}-\frac{Q}{l}\frac{\ln(d_{2}/d_{1})}{2\pi\lambda_{1}}\approx200^{\circ}\mathrm{C}
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\frac{Q}{l}=\frac{t_{2}-t_{3}}{2\pi\lambda_{2}};.....t_{3}=t_{2}-\frac{Q}{l}\frac{\ln(d_{3}/d_{2})}{2\pi\lambda_{2}}=154^{\circ}\mathrm{C}
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题目解答

答案

根据多层圆筒壁导热公式： \[ \frac{Q}{l} = \frac{t_1 - t_4}{\frac{\ln(d_2/d_1)}{2\pi \lambda_1} + \frac{\ln(d_3/d_2)}{2\pi \lambda_2} + \frac{\ln(d_4/d_3)}{2\pi \lambda_3}} \] 将 $ d_1 = 0.16 \, \text{m}, d_2 = 0.17 \, \text{m}, d_3 = 0.23 \, \text{m}, d_4 = 0.33 \, \text{m} $ 代入： \[ R_1 = \frac{0.0606}{2\pi \times 58.2} \approx 0.000166, \quad R_2 = \frac{0.302}{2\pi \times 0.175} \approx 0.275, \quad R_3 = \frac{0.361}{2\pi \times 0.0932} \approx 0.616 \] 总热阻 $ R_{\text{total}} = 0.891 \, \text{m·℃/W} $。 \[ \frac{Q}{l} = \frac{150}{0.891} \approx 168 \, \text{W/m} \] \[ t_2 = 200 - 168 \times 0.000166 \approx 200^\circ C \] \[ t_3 = 200 - 168 \times 0.275 \approx 154^\circ C \] 答案： 每米热损失 $ \frac{Q}{l} \approx 168 \, \text{W/m} $。 $ t_2 \approx 200^\circ C $。 $ t_3 \approx 154^\circ C $。

解析

本题考查多层圆筒壁的导热问题，解题思路是先根据多层圆筒壁导热公式求出每米热风管的热损失，再利用热流密度公式分别求出各层间的温度。

  1. 确定各层直径：
    • 已知热风管内径$d_1 = 160mm = 0.16m$，外径$d_2 = 170mm = 0.17m$。
    • 里层保温材料厚度$\delta_2 = 30mm = 0.03m$，则里层保温材料外直径$d_3=d_2 + 2\delta_2=0.17 + 2\times0.03 = 0.23m$。
    • 外层保温材料厚度$\delta_3 = 50mm = 0.05m$，则外层保温材料外直径$d_4=d_3 + 2\delta_3=0.23 + 2\times0.05 = 0.33m$。
  2. 计算各层热阻：
    • 热阻计算公式为$R=\frac{\ln(d_{外}/d_{内})}{2\pi\lambda}$。
    • 热风管热阻$R_1=\frac{\ln(d_2/d_1)}{2\pi\lambda_1}=\frac{\ln(0.17/0.16)}{2\pi\times58.2}$
      $=\frac{\ln1.0625}{2\pi\times58.2}\approx\frac{0.0606}{2\pi\times58.2}\approx0.000166m\cdot^{\circ}C/W$。
    • 里层保温材料热阻$R_2=\frac{\ln(d_3/d_2)}{2\pi\lambda_2}=\frac{\ln(0.23/0.17)}{2\pi\times0.175}$
      $=\frac{\ln1.3529}{2\pi\times0.175}\approx\frac{0.302}{2\pi\times0.175}\approx0.275m\cdot^{\circ}C/W$。
    • 外层保温材料热阻$R_3=\frac{\ln(d_4/d_3)}{2\pi\lambda_3}=\frac{\ln(0.33/0.23)}{2\pi\times0.0932}$
      $=\frac{\ln1.4348}{2\pi\times0.0932}\approx\frac{0.361}{2\pi\times0.0932}\approx0.616m\cdot^{\circ}C/W$。
  3. 计算总热阻：
    总热阻$R_{total}=R_1 + R_2 + R_3=0.000166 + 0.275 + 0.616 = 0.891m\cdot^{\circ}C/W$。
  4. 计算每米热损失：
    已知$t_1 = 200^{\circ}C$，$t_4 = 50^{\circ}C$，根据热流密度公式$\frac{Q}{l}=\frac{t_1 - t_4}{R_{total}}$，可得$\frac{Q}{l}=\frac{200 - 50}{0.891}=\frac{150}{0.891}\approx168W/m$。
  5. 计算$t_2$和$t_3$：
    • 对于热风管和里层保温材料界面，根据$\frac{Q}{l}=\frac{t_1 - t_2}{R_1}$，可得$t_2=t_1-\frac{Q}{l}R_1=200 - 168\times0.000166\approx200^{\circ}C$。
    • 对于里层和外层保温材料界面，根据$\frac{Q}{l}=\frac{t_2 - t_3}{R_2}$，可得$t_3=t_2-\frac{Q}{l}R_2=200 - 168\times0.275\approx154^{\circ}C$。