例14-4 平面闭合回路由半径为R1及R2 (R1 > R2 )的两个同心半圆弧和两个直导线段组成(如图).已知两个直导线段在两半圆弧中心O处的磁感强度为零,且闭合载流回路在O处产生的总的磁感强度B与半径 为R2的半圆弧在O点产生的磁感强度B2的关系为B = 2 B2/3,求R1与R2的关系.

本题考查毕奥 - 萨伐尔定律以及磁场叠加原理的应用。解题思路是先根据毕奥 - 萨伐尔定律分别求出半径为$R_1$和$R_2$的半圆弧在$O$点产生的磁感强度$B_1$和$B_2$，再结合已知条件两个直导线段在$O$处的磁感强度为零，得出闭合载流回路在$O$处产生的总的磁感强度$B$与$B_1$、$B_2$的关系，最后根据$B$与$B_2$的已知关系求出$R_1$与$R_2$的关系。

步骤一：根据毕奥 - 萨伐尔定律求$B_1$和$B_2$

根据毕奥 - 萨伐尔定律，载流半圆弧在圆心处产生的磁感强度公式为$B=\frac{\mu_0I}{4R}$（其中$\mu_0$为真空磁导率，$I$为电流强度，$R$为圆弧半径）。
设半径为$R_1$的载流半圆弧在$O$点产生的磁感强度为$B_1$，半径为$R_2$的载流半圆弧在$O$点产生的磁感强度为$B_2$，则有：
$B_1 = \frac{\mu_0I}{4R_1}$
$B_2 = \frac{\mu_0I}{4R_2}$

步骤二：分析闭合载流回路在$O$处产生的总的磁感强度$B$

已知两个直导线段在两半圆弧中心$O$处的磁感强度为零，根据磁场叠加原理，闭合载流回路在$O$处产生的总的磁感强度$B$等于两个半圆弧在$O$点产生的磁感强度的矢量和。
由于$R_1 > R_2$，根据$B=\frac{\mu_0I}{4R}$可知$B_1 < B_2$，且$B_1$和$B_2$方向相同（假设电流方向相同），所以$B = B_2 - B_1$。

步骤三：根据$B$与$B_2$的关系求出$R_1$与$R_2$的关系

已知$B = \frac{2B_2}{3}$，将$B = B_2 - B_1$代入可得：
$B_2 - B_1 = \frac{2B_2}{3}$
移项可得：
$B_1 = B_2 - \frac{2B_2}{3}=\frac{1}{3}B_2$
将$B_1 = \frac{\mu_0I}{4R_1}$，$B_2 = \frac{\mu_0I}{4R_2}$代入上式可得：
$\frac{\mu_0I}{4R_1}=\frac{1}{3}\times\frac{\mu_0I}{4R_2}$
两边同时约去$\frac{\mu_0I}{4}$，得到：
$\frac{1}{R_1}=\frac{1}{3R_2}$
交叉相乘可得：
$R_1 = 3R_2$