用压电式加速度传感器与电荷放大器构成振动测量系统。已知传感器的灵敏度KQ=250×10-12C/g,电荷放大器的反馈电容Cf=0.02μF,测得输出电压的峰值Umoax=0.5V。设振动加速度a(t)=Asin314t,速度和位移的初始值均为0,取g=9.8m/s2,试求:(1)振动加速度的最大值A(m/s2);(2)振动速度v(t)的表达式(m/s);(3)振动位移的最大值X(mm)。

本题主要考察压电式加速度传感器与电荷放大器构成的振动测量系统的工作原理，以及振动信号中加速度、速度、位移之间的积分关系，具体解析如下：

（1）求振动加速度的最大值$A(\text{m/s}^2)$

压电式加速度传感器的输出电荷$Q = K_Q \cdot A$（$K_Q$为电荷灵敏度，$A$为加速度峰值），电荷放大器的输出电压$U_o = \frac{Q}{C_f}$（$C_f$为反馈电容）。
联立得：$U_{o\text{max}} = \frac{K_Q \cdot A}{C_f}$，解得：
$A = \frac{U_{o\text{max}} \cdot C_f}{K_Q}$
代入数据：$U_{o\text{max}}=0.5\text{V}$，$C_f=0.02\mu\text{F}=0.02\times10^{-6}\text{F}$，$K_Q=250\times10^{-12}\text{C/g}$，且$1\text{g}=9.8\text{m/s}^2$（注意单位换算）：
$A = \frac{0.5 \times 0.02\times10^{-6}}{250\times10^{-12}} \times 9.8 = 39.2\text{m/s}^2$

（2）求振动速度$v(t)$的表达式$(\text{m/s})$

速度是加速度的积分：$v(t) = \int_0^t a(\tau)d\tau + v_0$（初始速度$v_0=0$）。
已知$a(t)=A\sin(314t)$，则：
$v(t) = \int_0^t A\sin(314\tau)d\tau = -\frac{A}{314}\cos(314t) + \frac{A}{314}$
因初始位移为0，积分常数$\frac{A}{314}$与$-\frac{A}{314}\cos(314t)$合并后，简化为：
$v(t) = -\frac{39.2}{314}\cos(314t) \approx -1.25\cos(314t)\text{ m/s}$

（3）求振动位移的最大值$X(\text{mm})$

位移是速度的积分：$x(t) = \int_0^t v(\tau)d\tau + x_0$（初始位移$x_0=0$）。
代入$v(t)$：
$x(t) = \int_0^t -\frac{39.2}{314}\cos(314\tau)d\tau = -\frac{39.2}{(314)^2}\sin(314t)$
位移最大值为振幅：
$X = \left| -\frac{39.2}{(314)^2} \right| \approx 0.004\text{ m} = 4\text{ mm}$