题目

某工厂有两种生产线(生产线A和生产线B)生产同一种零件。为了比较两条生产线的平均生产时间(单位:分钟)是否有显著差异，管理部门从生产线A随机抽取4个零件，计算得其生产时间的样本均值bar(X)=11.75，样本方差S_(1)^2=2.9；从生产线B随机抽取5个零件，计算得其生产时间的样本均值bar(Y)=13，样本方差S_(2)^2=2.5。假设两条生产线的生产时间均服从正态分布，且方差未知相等。为检验两条生产线的平均生产时间是否有显著差异，所用的检验统计量及检验结果为()。(显著性水平alpha=0.05，t_(0.025) =2.3645，t_(0.05) =1.8946，u_(0.025)=1.96，u_(0.05)=1.65) A. T=(bar(X)-bar(Y))/(sqrt(frac(2.9){4)+(2.5)/(5))}sim_(H_{0)} N(0,1)，无显著差异B. T=(bar(X)-bar(Y))/(sqrt(frac(1){4)+(1)/(5))sqrt((3S_(1)^2+4S_{2)^2)/(7)}}sim_(H_{0)} t ，无显著差异 C. T=(bar(X)-bar(Y))/(sqrt(frac(2.9){4)+(2.5)/(5))}sim_(H_{0)} N(0,1)，有显著差异D. T=(bar(X)-bar(Y))/(sqrt(frac(1){4)+(1)/(5))sqrt((3S_(1)^2+4S_{2)^2)/(7)}}sim_(H_{0)} t ，有显著差异

某工厂有两种生产线(生产线A和生产线B)生产同一种零件。为了比较两条生产线的平均生产时间(单位:分钟)是否有显著差异，管理部门从生产线A随机抽取4个零件，计算得其生产时间的样本均值$\bar{X}=11.75$，样本方差$S_{1}^{2}=2.9$；从生产线B随机抽取5个零件，计算得其生产时间的样本均值$\bar{Y}=13$，样本方差$S_{2}^{2}=2.5$。假设两条生产线的生产时间均服从正态分布，且方差未知相等。为检验两条生产线的平均生产时间是否有显著差异，所用的检验统计量及检验结果为()。(显著性水平$\alpha=0.05$，$t_{0.025}

=2.3645$，$t_{0.05}

=1.8946$，$u_{0.025}=1.96$，$u_{0.05}=1.65$)

  • A. $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{2.9}{4}+\frac{2.5}{5}}}\sim_{H_{0}} N(0,1)$，无显著差异
  • B. $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}\sqrt{\frac{3S_{1}^{2}+4S_{2}^{2}}{7}}}\sim_{H_{0}} t

$，无显著差异

  • C. $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{2.9}{4}+\frac{2.5}{5}}}\sim_{H_{0}} N(0,1)$，有显著差异
  • D. $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}\sqrt{\frac{3S_{1}^{2}+4S_{2}^{2}}{7}}}\sim_{H_{0}} t

$，有显著差异

题目解答

答案

为了确定两条生产线的平均生产时间是否有显著差异，我们需要进行一个双样本t检验，假设方差不等。检验统计量由下式给出： \[ T = \frac{X - Y}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}} \] 其中： - $ X $ 是生产线A的样本均值，为11.75。 - $ Y $ 是生产线B的样本均值，为13。 - $ S_1^2 $ 是生产线A的样本方差，为2.9。 - $ S_2^2 $ 是生产线B的样本方差，为2.5。 - $ n_1 $ 是生产线A的样本大小，为4。 - $ n_2 $ 是生产线B的样本大小，为5。 将给定的值代入公式，我们得到： \[ T = \frac{11.75 - 13}{\sqrt{\frac{2.9}{4} + \frac{2.5}{5}}} = \frac{-1.25}{\sqrt{0.725 + 0.5}} = \frac{-1.25}{\sqrt{1.225}} = \frac{-1.25}{1.1068} \approx -1.1294 \] 接下来，我们需要确定自由度 $ \nu $ 的值，使用以下公式： \[ \nu \approx \frac{\left( \frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{S_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left( \frac{S_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 - 1}} \] 将给定的值代入，我们得到： \[ \nu \approx \frac{\left( \frac{2.9}{4} + \frac{2.5}{5} \right)^2}{\frac{\left( \frac{2.9}{4} \right)^2}{3} + \frac{\left( \frac{2.5}{5} \right)^2}{4}} = \frac{(0.725 + 0.5)^2}{\frac{0.725^2}{3} + \frac{0.5^2}{4}} = \frac{1.225^2}{\frac{0.525625}{3} + \frac{0.25}{4}} = \frac{1.500625}{0.175208333 + 0.0625} = \frac{1.500625}{0.237708333} \approx 6.31 \] 由于自由度必须是整数，我们向下取整到最接近的整数，即6。对于双侧检验，显著性水平 $ \alpha = 0.05 $，自由度为6的t临界值为 $ t_{0.025,6} \approx 2.4469 $。 由于计算出的t统计量 $ T \approx -1.1294 $ 的绝对值小于临界值 $ 2.4469 $，我们不拒绝零假设。因此，两条生产线的平均生产时间没有显著差异。 然而，由于问题中提供的选项中没有一个与我们计算的自由度完全匹配，我们使用最接近的自由度，即7，其 $ t_{0.025,7} = 2.3645 $。由于 $ |T| \approx 1.1294 $ 小于 $ 2.3645 $，我们仍然不拒绝零假设。 因此，正确答案是： \[ \boxed{B} \] \[ T = \frac{X - Y}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}} \text{ 无显著差异} \]

解析

本题考查两个正态总体均值差异的假设检验，在方差未知但相等的情况下，应使用双样本 t 检验。解题思路如下：

  1. 确定原假设和备择假设：
    • 原假设 $H_0:\mu_1 = \mu_2$，表示两条生产线的平均生产时间无显著差异。
    • 备择假设 $H_1:\mu_1\neq\mu_2$，表示两条生产线的平均生产时间有显著差异。
  2. 计算合并方差 $S_p^2$：
    • 已知 $n_1 = 4$，$S_1^2 = 2.9$；$n_2 = 5$，$S_2^2 = 2.5$。
    • 根据合并方差公式 $S_p^2=\frac{(n_1 - 1)S_1^2+(n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$，可得：
      $\begin{align*}S_p^2&=\frac{(4 - 1)\times2.9+(5 - 1)\times2.5}{4 + 5 - 2}\\&=\frac{3\times2.9 + 4\times2.5}{7}\\&=\frac{8.7+10}{7}\\&=\frac{18.7}{7}\end{align*}$
  3. 确定检验统计量：
    • 在 $H_0$ 成立的条件下，检验统计量 $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\sqrt{S_p^2}}\sim t(n_1 + n_2 - 2)$。
    • 将 $S_p^2=\frac{18.7}{7}$ 代入可得 $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}\sqrt{\frac{3S_1^2 + 4S_2^2}{7}}}\sim_{H_0}t(7)$。
  4. 计算检验统计量的值：
    • 已知 $\bar{X}=11.75$，$\bar{Y}=13$，代入检验统计量公式可得：
      $\begin{align*}T&=\frac{11.75 - 13}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}\sqrt{\frac{3\times2.9+4\times2.5}{7}}}\\&=\frac{-1.25}{\sqrt{\frac{5 + 4}{20}}\sqrt{\frac{8.7 + 10}{7}}}\\&=\frac{-1.25}{\sqrt{\frac{9}{20}}\sqrt{\frac{18.7}{7}}}\\&\approx\frac{-1.25}{0.6708\times1.623}\\&\approx -1.13\end{align*}$
  5. 确定临界值并进行判断：
    • 给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验，自由度 $n_1 + n_2 - 2=4 + 5 - 2 = 7$，查 t 分布表得 $t_{0.025}(7)=2.3645$。
    • 因为 $|T|\approx1.13\lt t_{0.025}(7)=2.3645$，所以不拒绝原假设 $H_0$，即两条生产线的平均生产时间无显著差异。