[单选题] 设D为x^2+y^2leq1，则iintlimits_(D)(1)/(sqrt(1-x^2)-y^(2) )dxdy=（）.A. 0B. πC. 2πD. 4π

考查要点：本题主要考查二重积分在极坐标系下的计算，涉及坐标变换、雅可比行列式的应用以及换元积分法。

解题核心思路：

1. 坐标系选择：积分区域为单位圆，适合用极坐标简化计算。
2. 被积函数转化：将直角坐标系下的被积函数转换为极坐标形式。
3. 分步积分：先对径向变量$r$积分，再对角度变量$\theta$积分，利用对称性简化计算。

破题关键点：

• 极坐标变换：正确写出极坐标下的面积元素$r \, dr \, d\theta$。
• 换元积分法：处理$\int \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} \, dr$时，通过变量代换$u = 1 - r^2$简化积分。

将二重积分转换为极坐标形式：

1. 区域变换：$D: x^2 + y^2 \leq 1$对应极坐标$r \in [0,1]$，$\theta \in [0, 2\pi]$。
2. 被积函数变换：$\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-r^2}}$。
3. 面积元素变换：$dxdy = r \, dr d\theta$。

积分表达式变为：
$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \cdot r \, dr \, d\theta$

分步计算：

1. 对$r$积分：
   $\int_{0}^{1} \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} \, dr$
   换元法：令$u = 1 - r^2$，则$du = -2r \, dr$，积分变为：
   $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} \Big|_{0}^{1} = 1$

2. 对$\theta$积分：
   $\int_{0}^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi$

最终结果：
$\iint\limits_{D} \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \, dxdy = 2\pi$