题目
一个均匀带电球壳，半径为 R，带电荷 Q=3mu C。一个点电荷 q=1mu C 位于球壳外，距离球心 3R。一个同心高斯球面半径为 r=0.5R。真空介电常数 varepsilon_0=8.85times10^-12C^2/Nm^2。通过高斯面的电通量是多少 Ncdot m^2/C？
一个均匀带电球壳，半径为 $R$，带电荷 $Q=3\mu C$。一个点电荷 $q=1\mu C$ 位于球壳外，距离球心 $3R$。一个同心高斯球面半径为 $r=0.5R$。真空介电常数 $\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}C^2/Nm^2$。通过高斯面的电通量是多少 $N\cdot m^2/C$？
题目解答
答案
根据高斯定律，电通量 $ \Phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} $。
高斯面半径 $ r = 0.5R < R $，故球壳电荷 $ Q $ 不在高斯面内。
点电荷 $ q $ 位于 $ r = 3R $，亦不在高斯面内。
因此，$ Q_{\text{enc}} = 0 $，电通量为：
\[
\Phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0
\]
最终结果：通过高斯面的电通量为 $ 0\,\text{N·m}^2/\text{C} $。
答案：$ 0\,\text{N·m}^2/\text{C} $。
解析
本题考查高斯定律的应用。解题的关键在于明确高斯定律的表达式，即通过任意闭合曲面的电通量 $\Phi$ 等于该闭合曲面所包围的净电荷 $Q_{enc}$ 除以真空介电常数 $\varepsilon_0$，公式为 $\Phi = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$。然后需要判断给定的高斯面所包围的电荷情况。
- 首先明确高斯定律公式：
- 高斯定律的表达式为 $\Phi=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$，其中 $\Phi$ 是通过高斯面的电通量，$Q_{enc}$ 是高斯面内所包围的净电荷，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数。
- 接着分析高斯面内的电荷：
- 已知均匀带电球壳半径为 $R$，点电荷 $q$ 位于球壳外距离球心 $3R$ 处，同心高斯球面半径为 $r = 0.5R$。
- 因为 $r=0.5R\lt R$，所以球壳的电荷 $Q$ 不在高斯面内。
- 又因为点电荷 $q$ 距离球心 $3R$，$3R\gt0.5R$，所以点电荷 $q$ 也不在高斯面内。
- 那么高斯面内所包围的净电荷 $Q_{enc}=0$。
- 最后计算电通量：
- 将 $Q_{enc}=0$ 代入高斯定律公式 $\Phi=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$，可得 $\Phi=\frac{0}{\varepsilon_0}=0$。