题目
已知f（x）是二次函数且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）．
已知f（x）是二次函数且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）．
题目解答
答案
解：设二次函数f（x）=ax2+bx+c
∵f（0）=a×0+b×0+c=0，∴c=0
∴f（x）=ax2+bx，
又∵f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）2+b（x+1）=ax2+bx+x+1
∴ax2+2ax+a+bx+b=ax2+bx+x+1
∴2ax+（a+b）=x+1
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得$a=\frac{1}{2}，b=\frac{1}{2}$
∴f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x$
故答案为f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x$
∵f（0）=a×0+b×0+c=0，∴c=0
∴f（x）=ax2+bx，
又∵f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）2+b（x+1）=ax2+bx+x+1
∴ax2+2ax+a+bx+b=ax2+bx+x+1
∴2ax+（a+b）=x+1
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得$a=\frac{1}{2}，b=\frac{1}{2}$
∴f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x$
故答案为f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x$
解析
步骤 1：设二次函数
设二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$为常数，且$a \neq 0$。
步骤 2：利用$f(0) = 0$求$c$
由于$f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0$，可以得出$c = 0$。
步骤 3：利用$f(x+1) = f(x) + x + 1$求$a$和$b$
将$f(x) = ax^2 + bx$代入$f(x+1) = f(x) + x + 1$，得到$a(x+1)^2 + b(x+1) = ax^2 + bx + x + 1$。
展开并整理得到$ax^2 + 2ax + a + bx + b = ax^2 + bx + x + 1$。
比较系数，得到$2a = 1$和$a + b = 1$。
解这个方程组，得到$a = \frac{1}{2}$和$b = \frac{1}{2}$。
设二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$为常数，且$a \neq 0$。
步骤 2：利用$f(0) = 0$求$c$
由于$f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0$，可以得出$c = 0$。
步骤 3：利用$f(x+1) = f(x) + x + 1$求$a$和$b$
将$f(x) = ax^2 + bx$代入$f(x+1) = f(x) + x + 1$，得到$a(x+1)^2 + b(x+1) = ax^2 + bx + x + 1$。
展开并整理得到$ax^2 + 2ax + a + bx + b = ax^2 + bx + x + 1$。
比较系数，得到$2a = 1$和$a + b = 1$。
解这个方程组，得到$a = \frac{1}{2}$和$b = \frac{1}{2}$。