已知f（x）是二次函数且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）．

考查要点：本题主要考查二次函数的表达式求解，涉及函数值的代入、多项式恒等式的应用，以及方程组的解法。

解题核心思路：

1. 设定二次函数的一般形式，利用已知条件确定常数项；
2. 代入递推关系式，展开并整理多项式；
3. 比较系数，建立方程组求解未知系数。

破题关键点：

• 利用f(0)=0直接确定常数项c的值，简化函数表达式；
• 将f(x+1)展开并与f(x)+x+1对比，通过多项式恒等条件得到关于a、b的方程组。

设二次函数$f(x)=ax^{2}+bx+c$，根据已知条件逐步求解：

1. 确定常数项c
   由$f(0)=0$得：
   $a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = 0 \implies c = 0$
   因此，函数简化为$f(x)=ax^{2}+bx$。

2. 代入递推关系式
   根据$f(x+1)=f(x)+x+1$，展开左边：
   $f(x+1)=a(x+1)^{2}+b(x+1)=ax^{2}+2ax+a+bx+b$
   右边为：
   $f(x)+x+1=ax^{2}+bx+x+1=ax^{2}+(b+1)x+1$

3. 比较系数
   将左右两边的多项式对应项系数相等：

   • 二次项：两边均为$ax^{2}$，系数已匹配。
   • 一次项：左边为$2a + b$，右边为$b + 1$，得方程：
     $2a = 1$
   • 常数项：左边为$a + b$，右边为$1$，得方程：
     $a + b = 1$

4. 解方程组
   联立方程$\begin{cases} 2a = 1 \\ a + b = 1 \end{cases}$，解得：
   $a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{2}$