十四、如图12所示,在长直导线AB内通以电流 _(1)=20A, 在矩形线圈CDEF中通有电流I2-|||-=10A. AB与线圈共面,且CD,EF都与AB平行。已知 =9.0cm, b=20.0cm =1.0cm-|||-求:(1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力;-|||-(2)矩形线圈所受合力和合力矩。-|||-B}-|||-I1 I2-|||-C F-|||-d b-|||-D a-|||-E-|||-A:-|||-图12
题目解答
答案
解析
本题主要考查安培力的计算及磁场对电流的作用，涉及长直导线产生的磁场、安培力公式以及合力与合力矩的分析。
（1）求导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力
长直导线AB中通有电流$I_1$)，产生的磁场在周围某点的磁感应强度大小为$B=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$（r为该点到AB的距离）)，方向垂直纸面向里（右手螺旋定则）。矩形线圈CDEF中通有电流\(1)问中四个力的大小分析如下：
####### **① CD边受力$F_{CD}$
CD边与AB平行，长度$l=b=20.0cm=0.2m$，到AB的距离$r=d=1.0cm=0.01m$。
磁场均匀，安培力$F=BIl\sin\theta$（$\theta=90^\circ$，$\sin\theta=1$）：
$F_{CD}=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}I_2 l=\frac{4\pi\times10^{-7}\times20}{2\pi\times0.01}\times10\times0.2=8.0\times10^{-4}N$
方向：由左手定则，\(方向垂直CD向左)。
### **② EF边受力$F_{EF}$
EF边与CD平行，长度$l=b=0.2m$，到AB的距离$r=d+a=0.01+0.09=0.1m$。
$F_{EF}=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi (d+a)}I_2 l=\frac{F_{CD}}\times\frac{d}{d+a}=8.0\times10^{-4}\times\frac{0.01}{0.1}=8.0\times10^{-5}N$
方向：(垂直EF向右)，与$F_{CD}$平衡。
③ CF边受力$F_{CF}$
CF边垂直于AB，长度$l=a=0.09m$，到AB的距离从$d$到$d+a$连续变化，磁场$B$不均匀。
安培力元$dF=B I_2 dl=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}I_2 dr$，积分得：
$F_{CF}=\int_d^{d+a}\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}dr=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}\ln\left(\frac{d+a}{d}\right)
\quad?$
代入数据：
$F_{CF}=\frac{4\pi\times10^{-7}\times20\times10.09}{2\pi}\ln\left(\frac{0.1}{0.01}\right)=9.2\times10^{-5}N$
方向：(垂直CF向下)。
④ DE边受力$F_{DE}$
DE边与CF平行，长度$l=a=0.09m$，磁场分布与CF对称，积分结果大小与$F_{CF}$相等：
$F_{DE}=F_{CF}=9.2\times10^{-5}N$
方向：(垂直DE向上，与$F_{CF}$平衡。
(2) 矩形线圈所受合力和合力矩
合力：$F_{CD}$与$F_{EF}$方向相反，$F_{CF}$与$F_{DE}$平衡，故合力：
$F_{合}=F_{CD}-F_{EF}=8.0\times10^{-4-8.0\times10^{-5}=7.2\times10^{-4}N$
方向：垂直纸面向左。
合力矩：线圈共面且电流方向与磁场垂直，各力作用线共线，力臂为零，合力矩$M=0$。