题目
有1mol 刚性多原子分子的理想气体,原来的压强为1.0 atm,温度为27℃,若经-|||-过一绝热过程,使其压强增加到16 atm.试求:-|||-(1)气体内能的增量;-|||-(2)在该过程中气体所做的功;-|||-(3)终态时气体的分子数密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定气体的自由度和绝热指数
刚性多原子分子的自由度为6，因此绝热指数 $\gamma = \frac{i+2}{i} = \frac{6+2}{6} = \frac{4}{3}$。
步骤 2：利用绝热过程方程求终态温度
绝热过程方程为 $pV^\gamma = \text{常数}$，即 $p_1V_1^\gamma = p_2V_2^\gamma$。由于理想气体状态方程 $pV = nRT$，可以将体积 $V$ 用温度 $T$ 表示，得到 $p_1T_1^\gamma = p_2T_2^\gamma$。由此可得终态温度 $T_2 = T_1 \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$。将已知数值代入，得到 $T_2 = 300K \left(\frac{16}{1}\right)^{\frac{1}{4}} = 600K$。
步骤 3：计算气体内能的增量
理想气体的内能 $E = \frac{3}{2}nRT$，其中 $n$ 为摩尔数，$R$ 为理想气体常数。因此，气体内能的增量 $\Delta E = \frac{3}{2}nR(T_2 - T_1)$。将已知数值代入，得到 $\Delta E = \frac{3}{2} \times 1 \times 8.314 \times (600 - 300) = 7.48 \times 10^3 J$。
步骤 4：计算气体所做的功
根据绝热过程中的第一定律，$W = -\Delta E = -7.48 \times 10^3 J$。
步骤 5：计算终态时气体的分子数密度
根据理想气体状态方程 $pV = nRT$，可以得到分子数密度 $n = \frac{p}{kT}$，其中 $k$ 为玻尔兹曼常数。将已知数值代入，得到 $n = \frac{16 \times 1.013 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23} \times 600} = 1.96 \times 10^{26} \text{个} \cdot m^{-3}$。
刚性多原子分子的自由度为6，因此绝热指数 $\gamma = \frac{i+2}{i} = \frac{6+2}{6} = \frac{4}{3}$。
步骤 2：利用绝热过程方程求终态温度
绝热过程方程为 $pV^\gamma = \text{常数}$，即 $p_1V_1^\gamma = p_2V_2^\gamma$。由于理想气体状态方程 $pV = nRT$，可以将体积 $V$ 用温度 $T$ 表示，得到 $p_1T_1^\gamma = p_2T_2^\gamma$。由此可得终态温度 $T_2 = T_1 \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$。将已知数值代入，得到 $T_2 = 300K \left(\frac{16}{1}\right)^{\frac{1}{4}} = 600K$。
步骤 3：计算气体内能的增量
理想气体的内能 $E = \frac{3}{2}nRT$，其中 $n$ 为摩尔数，$R$ 为理想气体常数。因此，气体内能的增量 $\Delta E = \frac{3}{2}nR(T_2 - T_1)$。将已知数值代入，得到 $\Delta E = \frac{3}{2} \times 1 \times 8.314 \times (600 - 300) = 7.48 \times 10^3 J$。
步骤 4：计算气体所做的功
根据绝热过程中的第一定律，$W = -\Delta E = -7.48 \times 10^3 J$。
步骤 5：计算终态时气体的分子数密度
根据理想气体状态方程 $pV = nRT$，可以得到分子数密度 $n = \frac{p}{kT}$，其中 $k$ 为玻尔兹曼常数。将已知数值代入，得到 $n = \frac{16 \times 1.013 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23} \times 600} = 1.96 \times 10^{26} \text{个} \cdot m^{-3}$。