题目

64.填空题（共4分）质量为m的质点沿直线运动，其运动规律为x=bln(1+(v_(0)t)/(b))，其中v_(0)为初速度，b为常数。则作用于质点上的力F=____。

64.填空题（共4分） 质量为m的质点沿直线运动，其运动规律为 $x=b\ln(1+\frac{v_{0}t}{b})$，其中$v_{0}$为初速度，b为常数。则作用于质点上的力F=____。

题目解答

答案

### 解析 1. **理解题目**： - 质点的质量为 $ m $。 - 质点沿直线运动，其位置 $ x $ 随时间 $ t $ 的变化规律为 $ x = b \ln\left(1 + \frac{v_0 t}{b}\right) $。 - 需要求出作用于质点上的力 $ F $。 2. **求速度 $ v $**： - 速度 $ v $ 是位置 $ x $ 对时间 $ t $ 的一阶导数，即 $ v = \frac{dx}{dt} $。 - 对 $ x = b \ln\left(1 + \frac{v_0 t}{b}\right) $ 求导： \[ v = \frac{dx}{dt} = b \cdot \frac{1}{1 + \frac{v_0 t}{b}} \cdot \frac{v_0}{b} = \frac{v_0}{1 + \frac{v_0 t}{b}} \] - 简化后得到： \[ v = \frac{v_0 b}{b + v_0 t} \] 3. **求加速度 $ a $**： - 加速度 $ a $ 是速度 $ v $ 对时间 $ t $ 的一阶导数，即 $ a = \frac{dv}{dt} $。 - 对 $ v = \frac{v_0 b}{b + v_0 t} $ 求导： \[ a = \frac{dv}{dt} = \frac{v_0 b \cdot (-v_0)}{(b + v_0 t)^2} = -\frac{v_0^2 b}{(b + v_0 t)^2} \] 4. **求作用力 $ F $**： - 根据牛顿第二定律，力 $ F $ 等于质量 $ m $ 乘以加速度 $ a $，即 $ F = m a $。 - 将加速度 $ a $ 代入： \[ F = m \left( -\frac{v_0^2 b}{(b + v_0 t)^2} \right) = -\frac{m v_0^2 b}{(b + v_0 t)^2} \] ### 答案 作用于质点上的力 $ F $ 为： \[ F = -\frac{m v_0^2 b}{(b + v_0 t)^2} \]

解析

考查要点：本题主要考查变力作用下的运动学与动力学关系，涉及导数的计算及牛顿第二定律的应用。

解题核心思路：

  1. 确定速度：通过对位置函数$x(t)$求导得到速度$v(t)$。
  2. 确定加速度：通过对速度函数$v(t)$求导得到加速度$a(t)$。
  3. 应用牛顿第二定律：根据$F = ma$，将加速度代入即可求得作用力$F$。

破题关键点：

  • 正确求导：需熟练掌握复合函数求导法则，特别是分式函数的导数计算。
  • 符号处理：注意加速度的负号，反映力的方向与速度方向相反。

步骤1：求速度$v(t)$

位置函数为：
$x = b \ln\left(1 + \frac{v_0 t}{b}\right)$
对时间$t$求导得速度：
$v = \frac{dx}{dt} = b \cdot \frac{1}{1 + \frac{v_0 t}{b}} \cdot \frac{v_0}{b} = \frac{v_0}{1 + \frac{v_0 t}{b}} = \frac{v_0 b}{b + v_0 t}$

步骤2：求加速度$a(t)$

对速度$v(t)$求导得加速度：
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{v_0 b}{b + v_0 t}\right) = -\frac{v_0^2 b}{(b + v_0 t)^2}$

步骤3：求作用力$F$

根据牛顿第二定律$F = ma$：
$F = m \cdot \left(-\frac{v_0^2 b}{(b + v_0 t)^2}\right) = -\frac{m v_0^2 b}{(b + v_0 t)^2}$