【计算题】在真空中,有一电荷为 Q ,半径 R 的均匀带电球壳,其电荷是均匀分布的。试求:(1)球壳外两点间的电势差;(2)球壳内两点间的电势差;(3)球壳外任意点的电势;(4)球壳内任意点的电势。

1. 球壳外两点 $ r_1 $ 和 $ r_2 $（$ r_1, r_2 > R $）间的电势差为： \[ \phi(r_1) - \phi(r_2) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right) \] 2. 球壳内任意两点电势差为 $ 0 $，即 $ \phi(r_1) = \phi(r_2) $。 3. 球壳外任意点 $ r > R $ 的电势为： \[ \phi(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r} \] 4. 球壳内任意点 $ r < R $ 的电势为： \[ \phi(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R} \] 最终结论： - 球壳外电势随 $ r $ 减小而增大，$ \phi(r) \propto 1/r $。 - 球壳内为等势体，$ \phi(r) = \phi(R) $。