4.(1)设样本X_(1),X_(2),...,X_(6)来自总体N(0,1),Y=(X_(1)+X_(2)+X_(3))^2+(X_(4)+X_(5)+X_(6))^2,试确定常数C使CY服从chi^2分布.(2)设样本X_(1),X_(2),...,X_(5)来自总体N(0,1),Y=(C(X_(1)+X_(2)))/((X_(3)^2+X_{4)^2+X_(5)^2)^1/2},试确定常数C使Y服从t分布.(3)已知总体Xsim t(n),求证X^2sim F(1,n).

为了解决给定的问题，我们需要使用正态分布、卡方分布、t分布和F分布的性质。让我们一步步地解决每个部分。 ### 第一部分 设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 来自总体 $N(0,1)$。定义 $Y = (X_1 + X_2 + X_3)^2 + (X_4 + X_5 + X_6)^2$。我们需要确定常数 $C$ 使得 $CY$ 服从 $\chi^2$ 分布。 首先，考虑 $X_1 + X_2 + X_3$。由于 $X_1, X_2, X_3$ 是独立的且服从 $N(0,1)$，它们的和 $X_1 + X_2 + X_3$ 服从 $N(0,3)$。因此，$\frac{X_1 + X_2 + X_3}{\sqrt{3}}$ 服从 $N(0,1)$。 同样地，$\frac{X_4 + X_5 + X_6}{\sqrt{3}}$ 服从 $N(0,1)$。 现在，考虑平方项： \[ \left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{\sqrt{3}}\right)^2 \quad \text{和} \quad \left(\frac{X_4 + X_5 + X_6}{\sqrt{3}}\right)^2. \] 每个这些项都服从 $\chi^2(1)$ 分布，因为标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布。 由于 $\left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{\sqrt{3}}\right)^2$ 和 $\left(\frac{X_4 + X_5 + X_6}{\sqrt{3}}\right)^2$ 是独立的，它们的和服从 $\chi^2(2)$ 分布： \[ \left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{X_4 + X_5 + X_6}{\sqrt{3}}\right)^2 \sim \chi^2(2). \] 这可以重写为： \[ \frac{(X_1 + X_2 + X_3)^2}{3} + \frac{(X_4 + X_5 + X_6)^2}{3} \sim \chi^2(2). \] 因此，我们有： \[ \frac{Y}{3} \sim \chi^2(2). \] 所以，常数 $C$ 是： \[ \boxed{\frac{1}{3}}. \] ### 第二部分 设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_5$ 来自总体 $N(0,1)$。定义 $Y = \frac{C(X_1 + X_2)}{(X_3^2 + X_4^2 + X_5^2)^{1/2}}$。我们需要确定常数 $C$ 使得 $Y$ 服从 t 分布。 首先，考虑 $X_1 + X_2$。由于 $X_1$ 和 $X_2$ 是独立的且服从 $N(0,1)$，它们的和 $X_1 + X_2$ 服从 $N(0,2)$。因此，$\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}}$ 服从 $N(0,1)$。 接下来，考虑 $X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$。由于 $X_3, X_4, X_5$ 是独立的且服从 $N(0,1)$，它们的平方和 $X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$ 服从 $\chi^2(3)$ 分布。 现在，考虑表达式： \[ Y = \frac{C(X_1 + X_2)}{(X_3^2 + X_4^2 + X_5^2)^{1/2}}. \] 为了使 $Y$ 服从 t 分布，分子应该是一个标准正态变量，分母应该是自由度为3的卡方变量的平方根，除以它的自由度。因此，我们设 $C = \frac{1}{\sqrt{2}}$： \[ Y = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(X_1 + X_2)}{(X_3^2 + X_4^2 + X_5^2)^{1/2}} = \frac{\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}{3}} \sqrt{3}} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{3}} \sqrt{3}} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{3}} \sqrt{3}} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{3}} \sqrt{3}} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{3}} \sqrt{3}} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{3}} \sqrt{3}} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{3}} \sqrt{3}} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{3}} \sqrt{3}} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{3}} \sqrt{3}} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{3}} \sqrt{3}} \sim t(3). \] 所以，常数 $C$ 是： \[ \boxed{\frac{1}{\sqrt{2}}}. \] ### 第三部分 已知总体 $X \sim t(n)$，我们需要证明 $X^2 \sim F(1, n)$。 t 分布的定义是，如果 $T \sim t(n)$，那么 $T = \frac{Z}{\sqrt{W/n}}$，其中 $Z \sim N(0,1)$ 和 $W \sim \chi^2(n)$ 是独立的。 考虑 $T^2$： \[ T^2 = \left(\frac{Z}{\sqrt{W/n}}\right)^2 = \frac{Z^2}{W/n} = \frac{Z^2/1}{W/n}. \] 由于 $Z^2 \sim \chi^2(1)$ 和 $W \sim \chi^2(n)$ 是独立的，$\frac{Z^2/1}{W/n}$ 服从 $F(1, n)$ 分布。 因此，我们有： \[ X^2 \sim F(1, n). \] 所以，证明完成： \[ \boxed{X^2 \sim F(1, n)}. \]