题目
两个很长的共轴圆柱面(R_1=3.0×10^-2m， R_2=0.10m)，带有等量异号电荷，电荷线密分别为+lambda 和-lambda 。(1)求两柱面间任一点的电场强度；(2)若两柱面间的电势差为450V，求电荷线密度lambda ；(3)单位长度的电容C及储存的电场能量W_e。
两个很长的共轴圆柱面($$R_1=3.0×10^{-2}m$$， $$R_2=0.10m$$)，带有等量异号电荷，电荷线密分别为$$+\lambda $$和$$-\lambda $$。
(1)求两柱面间任一点的电场强度；
(2)若两柱面间的电势差为450V，求电荷线密度$$\lambda $$；
(3)单位长度的电容C及储存的电场能量$$W_e$$。
题目解答
答案
(1)对于两柱面间的一点，半径较大的柱面上的电荷在此处产生的电场强度为0，故两柱面间任一点的电场强度E即为半径较小的柱面上的电荷在此处产生的电场强度。
由$$E\cdot 2\pi r\Delta l={{\lambda \Delta l}\over{\varepsilon_0 }}$$，得$$E={{\lambda }\over{2\pi\varepsilon _0r}}$$
(2)由$$\Delta U=\int_{R_1}^{R_2}{E}\,\rm{d}r $$得$$\Delta U=\int_{R_1}^{R_2}{{{\lambda }\over{2\pi\varepsilon _0r}}}\,\rm{d}r $$，解得$$\lambda =2.08\times 10^{-8}C/m$$
(3)单位长度的电容
$$C={{\lambda }\over{\Delta U}}={{\lambda }\over{\int_{R_1}^{R_2}{{{\lambda }\over{2\pi\varepsilon _0r}}}\,\rm{d}r }}=4.62\times 10^{-11}F$$，
电场能量$$W_e={{1}\over{2}}\lambda \Delta U=4.68\times 10^{-6}J$$
解析
步骤 1：求两柱面间任一点的电场强度
对于两柱面间的一点，半径较大的柱面上的电荷在此处产生的电场强度为0，故两柱面间任一点的电场强度E即为半径较小的柱面上的电荷在此处产生的电场强度。
由$$E\cdot 2\pi r\Delta l={{\lambda \Delta l}\over{\varepsilon_0 }}$$，得$$E={{\lambda }\over{2\pi\varepsilon _0r}}$$
步骤 2：求电荷线密度$$\lambda $$
由$$\Delta U=\int_{R_1}^{R_2}{E}\,\rm{d}r $$得$$\Delta U=\int_{R_1}^{R_2}{{{\lambda }\over{2\pi\varepsilon _0r}}}\,\rm{d}r $$，解得$$\lambda =2.08\times 10^{-8}C/m$$
步骤 3：求单位长度的电容C及储存的电场能量$$W_e$$
单位长度的电容
$$C={{\lambda }\over{\Delta U}}={{\lambda }\over{\int_{R_1}^{R_2}{{{\lambda }\over{2\pi\varepsilon _0r}}}\,\rm{d}r }}=4.62\times 10^{-11}F$$，
电场能量$$W_e={{1}\over{2}}\lambda \Delta U=4.68\times 10^{-6}J$$
对于两柱面间的一点，半径较大的柱面上的电荷在此处产生的电场强度为0，故两柱面间任一点的电场强度E即为半径较小的柱面上的电荷在此处产生的电场强度。
由$$E\cdot 2\pi r\Delta l={{\lambda \Delta l}\over{\varepsilon_0 }}$$，得$$E={{\lambda }\over{2\pi\varepsilon _0r}}$$
步骤 2：求电荷线密度$$\lambda $$
由$$\Delta U=\int_{R_1}^{R_2}{E}\,\rm{d}r $$得$$\Delta U=\int_{R_1}^{R_2}{{{\lambda }\over{2\pi\varepsilon _0r}}}\,\rm{d}r $$，解得$$\lambda =2.08\times 10^{-8}C/m$$
步骤 3：求单位长度的电容C及储存的电场能量$$W_e$$
单位长度的电容
$$C={{\lambda }\over{\Delta U}}={{\lambda }\over{\int_{R_1}^{R_2}{{{\lambda }\over{2\pi\varepsilon _0r}}}\,\rm{d}r }}=4.62\times 10^{-11}F$$，
电场能量$$W_e={{1}\over{2}}\lambda \Delta U=4.68\times 10^{-6}J$$