粒子在阱宽2a的对称一维无限深方势阱中运动,能量的本征函数为2a ,其节点个数为( )个。A 2aB 2aC 2aD 2a

考查要点：本题主要考查对一维无限深方势阱中粒子能量本征函数节点数的理解，需要掌握正弦函数的零点分布规律及节点的定义。

解题核心思路：

1. 节点定义：本征函数的节点是指函数值为零的点，但不包括边界点。
2. 本征函数形式：对称一维无限深方势阱的本征函数为 $\Phi_n(x) = A \sin\left(\dfrac{n\pi x}{2a}\right)$，其中 $n=1,2,3,\dots$。
3. 零点分析：通过分析正弦函数的零点，确定除边界外的内部节点个数。

破题关键点：

• 正弦函数 $\sin(kx)$ 在区间 $[0, L]$ 内的零点个数与波数 $k$ 相关。
• 节点数公式：对于 $\Phi_n(x)$，内部节点数为 $n-1$。

步骤1：确定本征函数形式

对称一维无限深方势阱的本征函数为：
$\Phi_n(x) = A \sin\left(\dfrac{n\pi x}{2a}\right), \quad 0 \leq x \leq 2a.$
边界条件要求 $x=0$ 和 $x=2a$ 时函数值为零。

步骤2：分析节点条件

节点是函数值为零的点，即：
$\sin\left(\dfrac{n\pi x}{2a}\right) = 0.$
解得：
$\dfrac{n\pi x}{2a} = k\pi \quad (k \text{ 为整数}),$
即：
$x = \dfrac{2ka}{n}.$

步骤3：排除边界点

• 当 $k=0$ 时，$x=0$（左边界，不算节点）。
• 当 $k=n$ 时，$x=2a$（右边界，不算节点）。
• 有效节点对应 $k=1,2,\dots,n-1$，共 $n-1$ 个。

结论

能量本征函数 $\Phi_n(x)$ 的节点个数为 $n-1$。