设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平α=0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.

考查要点：本题主要考查单样本t检验的应用，用于判断样本均值是否与假设的总体均值存在显著差异。
解题核心思路：

1. 建立假设：原假设（$H_0$）为总体均值等于70分，备择假设（$H_1$）为总体均值不等于70分。
2. 计算检验统计量：由于总体方差未知且样本量较小（$n=36$），采用t检验统计量。
3. 判断临界值或p值：根据显著性水平$\alpha=0.05$和自由度（$n-1=35$）确定临界值，比较计算出的t值与临界值，或直接判断p值是否小于$\alpha$。
   破题关键：正确区分z检验与t检验的适用条件，明确自由度的计算，以及双侧检验的临界值范围。

1. 建立假设

• 原假设：$H_0: \mu = 70$（全体考生平均成绩为70分）
• 备择假设：$H_1: \mu \neq 70$（全体考生平均成绩不等于70分）

2. 计算t检验统计量

公式为：
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{x} = 66.5$（样本均值）
• $\mu_0 = 70$（假设的总体均值）
• $s = 15$（样本标准差）
• $n = 36$（样本量）

代入数据：
$t = \frac{66.5 - 70}{15 / \sqrt{36}} = \frac{-3.5}{2.5} = -1.4$

3. 确定临界值并比较

• 自由度：$df = n - 1 = 35$
• 双侧检验临界值：查t分布表，$\alpha=0.05$时，临界值为$\pm 2.032$
• 结论：计算出的$t = -1.4$的绝对值小于临界值$2.032$，因此不拒绝原假设。