题型说明:每题5分,请按照要求的格式填写答案13.（5.0分）质点静止在光滑的水平面上坐标原点处，在变力 overrightarrow(F) = x overrightarrow(i) + y overrightarrow(j) (N) 的作用，沿曲线x = t^2, y = t^3 (SI) 运动，在0~2s内，该变力对质点所做的功____J。备注：请填写整数
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查变力做功的计算，需要利用积分法处理随时间变化的力和位移关系。
解题核心思路：
- 明确功的定义式：变力做功需通过积分计算，公式为 $W = \int \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}$。
- 参数方程代入：将题目给出的运动轨迹 $x = t^2$、$y = t^3$ 代入力的表达式 $\overrightarrow{F} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$，并求出位移微分 $d\overrightarrow{r}$。
- 积分计算：将点积转化为关于时间 $t$ 的多项式积分，计算定积分即可得到结果。
破题关键点：
- 正确表达位移微分：由运动方程求出速度分量，得到 $d\overrightarrow{r} = (2t \, dt)\overrightarrow{i} + (3t^2 \, dt)\overrightarrow{j}$。
- 代数运算准确性：积分过程中需正确处理幂次和系数，避免计算错误。
步骤1：写出功的积分表达式
根据功的定义式：
$W = \int_{0}^{2} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}$
步骤2：代入力和位移微分
已知 $\overrightarrow{F} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$，运动轨迹为 $x = t^2$，$y = t^3$，则：
$d\overrightarrow{r} = \frac{dx}{dt} dt \cdot \overrightarrow{i} + \frac{dy}{dt} dt \cdot \overrightarrow{j} = (2t \, dt)\overrightarrow{i} + (3t^2 \, dt)\overrightarrow{j}$
步骤3：计算点积
将 $\overrightarrow{F}$ 和 $d\overrightarrow{r}$ 代入点积：
$\overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = (x \cdot 2t + y \cdot 3t^2) dt = (t^2 \cdot 2t + t^3 \cdot 3t^2) dt = (2t^3 + 3t^5) dt$
步骤4：计算定积分
积分区间为 $t = 0$ 到 $t = 2$：
$W = \int_{0}^{2} (2t^3 + 3t^5) dt = \left[ \frac{2t^4}{4} + \frac{3t^6}{6} \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{t^4}{2} + \frac{t^6}{2} \right]_{0}^{2}$
步骤5：代入上下限
计算得：
$W = \left( \frac{2^4}{2} + \frac{2^6}{2} \right) - 0 = \frac{16}{2} + \frac{64}{2} = 8 + 32 = 40 \, \text{J}$