三、应用题（22分）20.（12分）已知抛物线x^2=(p-3)y+3(p>0)与x+y=2相切，该抛物线与直线x+y=2及坐标轴围成的平面图形为D.求 （1）D的面积（2）D绕x轴旋转一周所得立体体积V

1. **确定抛物线方程：** 将直线 $x + y = 2$ 代入抛物线方程，得二次方程判别式为零，解得 $p = 1$。 抛物线方程为 $x^2 = -2y + 3$ 或 $y = \frac{3 - x^2}{2}$。 2. **计算面积 $A$：** 从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 积分抛物线，从 $x = 1$ 到 $x = 2$ 积分直线： \[ A = \int_0^1 \frac{3 - x^2}{2} \, dx + \int_1^2 (2 - x) \, dx = \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \boxed{\frac{11}{6}} \] 3. **计算体积 $V$：** 从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 积分抛物线绕 $x$ 轴旋转体积，从 $x = 1$ 到 $x = 2$ 积分直线绕 $x$ 轴旋转体积： \[ V = \pi \int_0^1 \left( \frac{3 - x^2}{2} \right)^2 \, dx + \pi \int_1^2 (2 - x)^2 \, dx = \frac{9\pi}{5} + \frac{\pi}{3} = \boxed{\frac{32\pi}{15}} \]