题目
一链条总长为l,质量为m,放在桌面上,并使其下垂到桌面一侧的长度为 (agt dfrac (mu )(mu +1)l) ,如图 4-12(a) 所-|||-示.设链条与桌面之间的滑动摩擦因数为μ,链条由静止开始运动,链条质量均匀分布,问:-|||-(1)链条从开始运动到链条全部离开桌面的过程中摩擦力做了多少功?-|||-(2)链条离开桌面时的速率是多少?-|||-卜 -1-a __ l-x __-|||->-|||-o-|||-a-|||-3-|||-x-|||-(a) (b)-|||-图 4-12 例 4-5 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定摩擦力的大小
链条在桌面上的长度为 $l-x$，其中 $x$ 是链条下垂的长度。由于链条质量均匀分布，链条在桌面上的质量为 $\dfrac{m}{l}(l-x)$。因此，摩擦力的大小为 $F=\mu \dfrac{m}{l}(l-x)g$，其中 $\mu$ 是摩擦因数，$g$ 是重力加速度。
步骤 2：计算摩擦力做的功
摩擦力的方向与位移方向相反，因此摩擦力做负功。摩擦力做的功为 $A=\int F\cdot dx={\int }_{a}^{l}-\mu \dfrac{m}{l}(l-x)gdx$。计算这个积分，得到 $A=-\dfrac{\mu mg}{2l}{(l-a)}^{2}$。
步骤 3：应用功能原理求链条离开桌面时的速率
以链条和地球作为系统，取坐标原点为重力势能的零点。设链条离开桌面时的速率为 $v$，应用功能原理，得 $A=({E}_{k}+{E}_{p})-({E}_{k0}+{E}_{p0})$。其中 ${E}_{k0}=0$，${E}_{p0}=-\dfrac{m}{l}ag\dfrac{a}{2}=-\dfrac{mg{a}^{2}}{2l}$，${E}_{k}=\dfrac{1}{2}m{v}^{2}$，${E}_{p}=-mg\dfrac{l}{2}$。将这些值代入功能原理公式，得到 $-\dfrac{\mu mg}{2l}{(l-a)}^{2}=-mg\dfrac{l}{2}+\dfrac{1}{2}m{v}^{2}=\dfrac{mg{a}^{2}}{2l}$。解这个方程，得到链条离开桌面时的速率为 $v=\sqrt{\dfrac{[l^{2}-a^{2}-\mu(l-a)^{2}]g}{l}}$。
链条在桌面上的长度为 $l-x$，其中 $x$ 是链条下垂的长度。由于链条质量均匀分布，链条在桌面上的质量为 $\dfrac{m}{l}(l-x)$。因此，摩擦力的大小为 $F=\mu \dfrac{m}{l}(l-x)g$，其中 $\mu$ 是摩擦因数，$g$ 是重力加速度。
步骤 2：计算摩擦力做的功
摩擦力的方向与位移方向相反，因此摩擦力做负功。摩擦力做的功为 $A=\int F\cdot dx={\int }_{a}^{l}-\mu \dfrac{m}{l}(l-x)gdx$。计算这个积分，得到 $A=-\dfrac{\mu mg}{2l}{(l-a)}^{2}$。
步骤 3：应用功能原理求链条离开桌面时的速率
以链条和地球作为系统，取坐标原点为重力势能的零点。设链条离开桌面时的速率为 $v$，应用功能原理，得 $A=({E}_{k}+{E}_{p})-({E}_{k0}+{E}_{p0})$。其中 ${E}_{k0}=0$，${E}_{p0}=-\dfrac{m}{l}ag\dfrac{a}{2}=-\dfrac{mg{a}^{2}}{2l}$，${E}_{k}=\dfrac{1}{2}m{v}^{2}$，${E}_{p}=-mg\dfrac{l}{2}$。将这些值代入功能原理公式，得到 $-\dfrac{\mu mg}{2l}{(l-a)}^{2}=-mg\dfrac{l}{2}+\dfrac{1}{2}m{v}^{2}=\dfrac{mg{a}^{2}}{2l}$。解这个方程，得到链条离开桌面时的速率为 $v=\sqrt{\dfrac{[l^{2}-a^{2}-\mu(l-a)^{2}]g}{l}}$。