题目
。2017年9月12日晚上11时58分，中国“天舟一号”货运飞船顺利完成与“天宫二号”太空实验室的自主快速交会对接试验，此次试验将中国太空交会对接的两天的准备时间缩短至6.5小时，为中国太空站工程后续研制建设奠定更加坚实的技术基础．图是“天舟”与“天宫”对接过程示意图，已知“天舟1号”与“天宫2号”成功对接后，组合体沿圆形轨道运行．经过时间t，组合体绕地球转过的角度为θ，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转．求：（1）地球质量M；（2）组合体运动的周期T；（3）组合体所在圆轨道离地面高度H．
2017年9月12日晚上11时58分，中国“天舟一号”货运飞船顺利完成与“天宫二号”太空实验室的自主快速交会对接试验，此次试验将中国太空交会对接的两天的准备时间缩短至6.5小时，为中国太空站工程后续研制建设奠定更加坚实的技术基础．图是“天舟”与“天宫”对接过程示意图，已知“天舟1号”与“天宫2号”成功对接后，组合体沿圆形轨道运行．经过时间t，组合体绕地球转过的角度为θ，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转．求：（1）地球质量M；
（2）组合体运动的周期T；
（3）组合体所在圆轨道离地面高度H．
题目解答
答案
解：（1）根据地球表面物体的重力等于万有引力可得：$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
所以有：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$；
（2）组合体运行的角速度为：$ω=\frac{θ}{t}$=$\frac{2π}{T}$
故周期为：$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2πt}{θ}$；
（3）组合体做圆周运动，万有引力做向心力，故有：$G\frac{Mm}{{{{（R+H）}^2}}}=m{ω^2}（R+H）$
解得：$H=\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}-R$=$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{t^2}}}{θ^2}}}-R$；
（1）地球质量M为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）组合体运动的周期T为$\frac{2πt}{θ}$；
（3）组合体所在圆轨道离地面高度H为$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{t^2}}}{θ^2}}}-R$．
所以有：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$；
（2）组合体运行的角速度为：$ω=\frac{θ}{t}$=$\frac{2π}{T}$
故周期为：$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2πt}{θ}$；
（3）组合体做圆周运动，万有引力做向心力，故有：$G\frac{Mm}{{{{（R+H）}^2}}}=m{ω^2}（R+H）$
解得：$H=\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}-R$=$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{t^2}}}{θ^2}}}-R$；
（1）地球质量M为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）组合体运动的周期T为$\frac{2πt}{θ}$；
（3）组合体所在圆轨道离地面高度H为$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{t^2}}}{θ^2}}}-R$．
解析
步骤 1：计算地球质量M
根据地球表面物体的重力等于万有引力，可以得到地球质量M的表达式。地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，其中m是物体的质量，R是地球半径，g是地球表面的重力加速度，G是引力常量。由此可以解出地球质量M。
步骤 2：计算组合体运动的周期T
组合体绕地球运行的角速度为$ω=\frac{θ}{t}$，其中θ是组合体绕地球转过的角度，t是时间。组合体的周期T与角速度ω的关系为$T=\frac{2π}{ω}$。将角速度的表达式代入，可以得到组合体运动的周期T。
步骤 3：计算组合体所在圆轨道离地面高度H
组合体绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即$G\frac{Mm}{{(R+H)^2}}=mω^2(R+H)$，其中m是组合体的质量，H是组合体所在圆轨道离地面的高度。将地球质量M的表达式和角速度ω的表达式代入，可以解出组合体所在圆轨道离地面高度H。
根据地球表面物体的重力等于万有引力，可以得到地球质量M的表达式。地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，其中m是物体的质量，R是地球半径，g是地球表面的重力加速度，G是引力常量。由此可以解出地球质量M。
步骤 2：计算组合体运动的周期T
组合体绕地球运行的角速度为$ω=\frac{θ}{t}$，其中θ是组合体绕地球转过的角度，t是时间。组合体的周期T与角速度ω的关系为$T=\frac{2π}{ω}$。将角速度的表达式代入，可以得到组合体运动的周期T。
步骤 3：计算组合体所在圆轨道离地面高度H
组合体绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即$G\frac{Mm}{{(R+H)^2}}=mω^2(R+H)$，其中m是组合体的质量，H是组合体所在圆轨道离地面的高度。将地球质量M的表达式和角速度ω的表达式代入，可以解出组合体所在圆轨道离地面高度H。