如图甲所示，一轻质弹簧左端固定在墙壁上，右端与置于水平面上的质量为m的小滑块相连。在以下的讨论中小滑块可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，取弹簧原长时弹性势能为0，且空气阻力可忽略不计。F v-|||-ve-|||-4-|||-x-|||-x m-|||--x0 0 x0 x-|||-甲 乙 丙 丁若水平面光滑，以弹簧原长时小滑块的位置O为坐标原点，建立水平向右的坐标轴Ox，如图甲所示。(1)请在图乙中画出弹簧弹力F与小滑块所在位置坐标x的关系图象。教科书中讲解了由v−t图象求位移的方法，请你借鉴此方法，并根据F−x图象推导出小滑块在x位置时弹簧弹性势能(E)_(p)的表达式。(已知弹簧的劲度系数为k)(2)小滑块在某轻质弹簧的作用下，沿光滑水平面在O点附近做往复运动，其速度v的大小与位置坐标x的关系曲线如图丙所示，其中(v)_(m)和(x)_(0)皆为已知量，请根据图丙中v−x图象提供的信息求解本题中弹簧的劲度系数k'。若水平面不光滑，且已知小滑块与水平面之间的动摩擦因数为mu 。仍以弹簧原长时小滑块的位置O为坐标原点，建立水平向右的坐标轴Ox，将小滑块沿水平面向右拉到距离O点为(l)_(0)的P点按住((l)_(0)gt dfrac(mu mg)(k))，如图丁所示。计算中可以认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，已知重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k。(1)若放手后小滑块第一次经过O点向左运动至最远点Q，求Q点与O点的距离，并分析如果小滑块在Q点停不住，(l)_(0)与mu 、m和k等物理量之间应满足什么条件；(2)若放手后小滑块第二次经过O点后在向右运动的过程中逐渐减速最终静止，求小滑块从P点开始运动的整个过程中所通过的总路程。

1. 【答案】

(1)根据弹簧弹力与伸长量的关系$F=kx$可得F−x图象如图1所示。

图象与x轴围成的面积代表弹簧弹力做功，如图2所示，由面积可知将弹簧拉伸x的过程中，弹簧弹力所做的功为：$W=-\dfrac{1}{2}k{x}^{2}$

根据功能关系可知，当弹簧被拉伸x时，其弹性势能为：${E}_{p}=\dfrac{1}{2}k{x}^{2}$

(2)因小滑块与弹簧组成的系统在运动过程中机械能守恒，因此有：$\dfrac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}=\dfrac{1}{2}k'{{x}_{0}}^{2}$

可解得：$k'=\dfrac{m{{v}_{m}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$

答：(1)图象如上图；弹性势能${E}_{p}=\dfrac{1}{2}k{x}^{2}$；

(2)弹簧的劲度系数$k'$为$\dfrac{m{{v}_{m}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$。

2. 【答案】

(1)对于小滑块由P点出发向左运动的过程，假设其在最左端时，其距O点的距离为${l}_{1}$，由功能关系得：$\dfrac{1}{2}k{{l}_{0}}^{2}-\dfrac{1}{2}k{{l}_{1}}^{2}=\mu mg\left({l}_{0}+{l}_{1}\right)$

即：$\dfrac{1}{2}k\left({l}_{0}-{l}_{1}\right)=\mu mg$

解得：${l}_{1}={l}_{0}-\dfrac{2\mu mg}{k}$

若小滑块速度为零而停不住，则应有：$k{l}_{1}\gt \mu mg$

将${l}_{1}$代入得：${l}_{0}\gt \dfrac{3\mu mg}{k}$

(2)设小滑块速度为零时距O点的距离为${l}_{2}$，对其由O点左侧最大位移处向右运动至速度减为零的过程，由功能关系得：$\dfrac{1}{2}k{{l}_{1}}^{2}-\dfrac{1}{2}k{{l}_{2}}^{2}=\mu mg\left({l}_{1}+{l}_{2}\right)$

解得：${l}_{2}={l}_{1}-\dfrac{2\mu mg}{k}={l}_{0}-4\dfrac{\mu mg}{k}$

所以滑块走过的总路程为${l}_{总}={l}_{0}+2{l}_{1}+{l}_{2}=4{l}_{0}-8\dfrac{\mu mg}{k}$

答：(1)${l}_{0}$与$\mu $、m和k等物理量之间应满足${l}_{0}\gt \dfrac{3\mu mg}{k}$；

(2)小滑块从P点开始运动的整个过程中所通过的总路程为$4{l}_{0}-8\dfrac{\mu mg}{k}$。