真空中两只长直螺线管 1 和 2 ,长度相等,单层密绕匝数相同,直径之比 d 1 / d 2 =1/4 .当它们通以相同电流时,两螺线管贮存的磁能之比为 W 1 / W 2 =___________ .

考查要点：本题主要考查螺线管的磁场特性及磁场能量的计算，需结合磁场能量密度公式与几何关系进行推导。

解题核心思路：

1. 确定磁场强度：根据螺线管磁场公式 $B = \mu_0 n I$，分析两螺线管的磁场关系。
2. 计算磁能：利用磁场能量密度公式 $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$，结合体积 $V$ 得总能量 $W = uV$。
3. 体积比分析：通过直径比推导底面积比，进而得到体积比。

破题关键点：

• 单位长度匝数相同：两螺线管长度、匝数相同，故单位长度匝数 $n$ 相同。
• 磁场强度相等：电流相同，$B_1 = B_2$。
• 体积比决定能量比：磁能与体积成正比，体积比由底面积比决定。

步骤1：确定磁场强度

螺线管的磁场强度公式为：
$B = \mu_0 n I$
其中 $n = \frac{N}{L}$ 为单位长度匝数。两螺线管长度 $L$、匝数 $N$、电流 $I$ 均相同，故 $n_1 = n_2$，因此：
$B_1 = B_2$

步骤2：计算磁能

磁场能量公式为：
$W = \frac{B^2}{2\mu_0} V$
其中 $V$ 为螺线管体积，$V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 L$。代入得：
$W = \frac{B^2}{2\mu_0} \cdot \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 L$

步骤3：求能量之比

因 $B_1 = B_2$，$L_1 = L_2$，故：
$\frac{W_1}{W_2} = \frac{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2}{\left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$