第五章习题5.1 试用虚功原理解3.1题。5.2 试用虚功原理解3.4题。5.3 长度同为的轻棒四根,光滑地联成一菱形。、两边支于同一水平线上相距为的两根钉上,间则用一轻绳联结,点上系一重物。设点上的顶角为2,试用虚功原理求绳中X力。5.4 一质点的重量为,被约束在竖直圆周——= 0上,并受一水平斥力的作用,式中圆的半径,为常数。试用未定乘数法求质点的平衡位置及约束反作用力的量值。5.5 在离心节速器中,质量为的质点沿着一竖直轴运动,而整个系统则以匀角速绕该轴转动。试写出此力学体系的拉氏函数。设连杆、、、等的质量均可不计。5.6 试用拉格朗日方程解4.10题。5.7 试用拉格朗日方程解本章补充例题5.3。5.8 一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动。管中有一质量为的质点。开始时,细管取水平方向,质点距转动轴的距离为,质点相对于管的速度为,试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。5.9设质量为的质点,受重力作用,被约束在半顶角为的圆锥面内运动。试以,为广义坐标,由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。5.10 试用拉格朗日方程解2.4题中的及。5.11 试用拉格朗日方程求3.20题中的及。5.12 均质棒,质量为,长为2,其端可在光滑水平导槽上运动。 而棒本身又可在竖直面内绕端摆动。如除重力作用外,端还受有一 水平的力的作用。试用拉割朗日方程求其运动微分方程。如摆动的角度很小,则又如何?

答:

如很小,则

式中为任一瞬时离定点的距离,为任一瞬时棒与竖直线间所成的角度,

为绕质心的回转半径.

5.13行星齿轮机构如右图所示.曲柄带动行星齿轮Ⅱ在固定齿轮Ⅰ上滚动.已知曲柄的质量为,且可认为是匀质杆.齿轮Ⅱ的质量为 ,半径为,且可认为是匀质圆盘.至于齿轮Ⅰ的半径则为.今在曲柄上作用一不变的力矩.如重力的作用可以忽略不计,试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动.

5.14质量为的圆柱体 放在质量为 的圆柱体上作相对滚动,而则放在粗糙平面上.已知两圆柱的轴都是水平的,且重心在同一竖直面内.开始时此系统是静止的.若以圆柱体的重心的初始位置为固定坐标系的原点,则圆柱的重心在任一时刻的坐标为

试用拉格朗日方程证明之.式中为两圆柱轴线间的距离,为两圆柱连心线与竖直向上的直线间的夹角.

5.15质量为、半径为的薄球壳,其外表面是完全粗糙的,内表面则完全光滑,放在粗糙水平着上.在球壳内放一质量为、长为 2的匀质棒.设此系统由静止开始运动,且在开始的瞬间棒在通过球心的竖直平面内,两端都与球壳相接触,并与水平线成角.试用拉格朗日方程证明在以后的运动中,此棒与水平线的夹角满足关系

5.16半径为的匀质小球,可在一具有水平轴、半径为的固定圆柱的内表面滚动.试求圆球平衡位置作微振动的方程及其周期.

5.17质点,其质量为,用长为的绳子系在固定点上.在质点上,用长为的绳系另一质点,其质量为.以绳与竖直线所成的角度与 为广义坐标,求此系统在竖直平面内作微振动的运动方程.如==,==,试再求出此系统的振动周期.

第5.17题图

5.18在上题中,如双摆的上端不是系在固定点上,而是系在一个套在光滑水平杆上、质量为2的小环上,小环可沿水平杆滑动.如==,==,试求其运动方程及其周期.

5.19质量分别为、 的二原子分子、平衡时原子间的距离为,它们的相互作用力是准弹性的,取二原子的连线为轴,试求此分子的运动方程。

5.20 已知一带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数(非相对论的)为