3.5 一均质的梯子，一端置于摩擦因数为(1)/(2)的地板上，另一端则斜靠在摩擦因数为(1)/(3)的高墙上，一人的体重为梯子的三倍，爬到梯子的顶端时，梯子尚未开始滑动，则梯子与地面的倾角，最小应为多少?

本题考查刚体的平衡条件，包括力的平衡和力矩的平衡。解题的关键思路是先对梯子进行受力分析，找出所有的作用力，然后根据力的平衡条件列出方程，求出各力之间的关系。接着以梯子与地面的接触点为转轴，根据力矩平衡条件列出方程，最后结合力的平衡结果求解出梯子与地面的最小倾角。

1. 受力分析

设梯子的重力为$G_1$，人的重力为$G_2 = 3G_1$，梯子与地面的夹角为$\theta$。梯子受到以下几个力的作用：

• 重力$G_1$，作用在梯子的中点，方向竖直向下。
• 人的重力$G_2$，作用在梯子的顶端，方向竖直向下。
• 地面对梯子的支持力$N_1$，方向竖直向上。
• 墙对梯子的支持力$N_2$，方向水平向右。
• 地面对梯子的摩擦力$f_1$，方向水平向左。
• 墙对梯子的摩擦力$f_2$，方向竖直向下。

2. 力的平衡条件

根据力的平衡条件，在水平方向和竖直方向上的合力都为零，可列出以下方程：

• 水平方向：$f_1 = N_2$
• 竖直方向：$N_1 = G_1 + G_2 + f_2 = 4G_1 + f_2$

已知梯子处于极限平衡时，$f_1 = \frac{1}{2} N_1$，$f_2 = \frac{1}{3} N_2$。
将$f_1 = N_2$和$f_1 = \frac{1}{2} N_1$联立可得$N_2 = \frac{1}{2} N_1$。
把$N_2 = \frac{1}{2} N_1$代入$f_2 = \frac{1}{3} N_2$，可得$f_2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} N_1 = \frac{1}{6} N_1$。
再将$f_2 = \frac{1}{6} N_1$代入$N_1 = 4G_1 + f_2$，得到$N_1 = 4G_1 + \frac{1}{6} N_1$。
移项可得$N_1 - \frac{1}{6} N_1 = 4G_1$，即$\frac{5}{6} N_1 = 4G_1$，解得$N_1 = \frac{24}{5} G_1$。
由$N_2 = \frac{1}{2} N_1$，可得$N_2 = \frac{1}{2} \times \frac{24}{5} G_1 = \frac{12}{5} G_1$。
由$f_2 = \frac{1}{6} N_1$，可得$f_2 = \frac{1}{6} \times \frac{24}{5} G_1 = \frac{4}{5} G_1$。

3. 力矩平衡条件

以梯子与地面的接触点为转轴，根据力矩平衡条件，顺时针方向的力矩之和等于逆时针方向的力矩之和。

• 重力$G_1$的力矩：$M_1 = \frac{1}{2} G_1 L \cos\theta$（$L$为梯子的长度）
• 人的重力$G_2$的力矩：$M_2 = G_2 L \cos\theta = 3G_1 L \cos\theta$
• 墙对梯子的支持力$N_2$的力矩：$M_3 = N_2 L \sin\theta = \frac{12}{5} G_1 L \sin\theta$
• 墙对梯子的摩擦力$f_2$的力矩：$M_4 = f_2 L \cos\theta = \frac{4}{5} G_1 L \cos\theta$

则有$\frac{1}{2} G_1 L \cos\theta + 3G_1 L \cos\theta = \frac{12}{5} G_1 L \sin\theta + \frac{4}{5} G_1 L \cos\theta$。
两边同时除以$G_1 L$，得到$\frac{1}{2} \cos\theta + 3 \cos\theta = \frac{12}{5} \sin\theta + \frac{4}{5} \cos\theta$。
通分可得$\frac{5}{10} \cos\theta + \frac{30}{10} \cos\theta = \frac{12}{5} \sin\theta + \frac{8}{10} \cos\theta$。
移项可得$\frac{5}{10} \cos\theta + \frac{30}{10} \cos\theta - \frac{8}{10} \cos\theta = \frac{12}{5} \sin\theta$。
即$\frac{27}{10} \cos\theta = \frac{12}{5} \sin\theta$。
两边同时除以$\cos\theta$，得到$\frac{27}{10} = \frac{12}{5} \tan\theta$。
解得$\tan\theta = \frac{27}{10} \times \frac{5}{12} = \frac{41}{24}$。

4. 求解最小倾角

由$\tan\theta = \frac{41}{24}$，可得$\theta = \arctan\left( \frac{41}{24} \right)$。