题目
4.下面列出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间(以min计):9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.210.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7设装配时间的总体服从正态分布N(mu,sigma^2)，mu，sigma^2均未知，是否可以认为装配时间的均值mu显著大于10(取a=0.05)?
4.下面列出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间(以min计):
9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2
10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7
设装配时间的总体服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，$\mu$，$\sigma^{2}$均未知，是否可以认为装配时间的均值$\mu$显著大于10(取$a=0.05$)?
题目解答
答案
1. **假设检验**：
$H_0: \mu \leq 10$，$H_1: \mu > 10$。
显著性水平 $\alpha = 0.05$。
2. **计算样本均值和标准差**：
$\overline{x} = 10.2$，
$s \approx 0.5099$。
3. **t统计量**：
$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{10.2 - 10}{0.5099 / \sqrt{20}} \approx 1.7541$。
4. **临界值**：
$t_{0.05}(19) = 1.7291$。
5. **结论**：
$t = 1.7541 > 1.7291$，拒绝 $H_0$。
**答案**：
可以认为装配时间的均值显著大于10。
解析
考查要点：本题主要考查单样本t检验的应用，用于判断正态分布总体均值是否显著大于某个特定值。
解题思路：
- 建立假设：原假设$H_0: \mu \leq 10$，备择假设$H_1: \mu > 10$（右侧检验）。
- 计算样本均值和标准差：由于总体方差未知且样本量较小（$n=20$），需用样本标准差$s$代替总体标准差。
- 构造t统计量：$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$，并与临界值比较。
- 决策：若$t$统计量大于临界值$t_{0.05}(19)$，则拒绝原假设。
关键点：
- 小样本且方差未知时必须使用t检验。
- 右侧检验的临界值需查t分布表确定。
1. 建立假设
- 原假设：$H_0: \mu \leq 10$
- 备择假设：$H_1: \mu > 10$
- 显著性水平：$\alpha = 0.05$
2. 计算样本均值和标准差
- 样本均值：
$\overline{x} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} x_i = \frac{204}{20} = 10.2$ - 样本标准差：
$s = \sqrt{\frac{1}{19} \sum_{i=1}^{20} (x_i - \overline{x})^2} \approx \sqrt{\frac{4.94}{19}} \approx 0.5099$
3. 构造t统计量
$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{10.2 - 10}{0.5099 / \sqrt{20}} \approx \frac{0.2}{0.114} \approx 1.7541$
4. 确定临界值
自由度为$df = n - 1 = 19$，查t分布表得：
$t_{0.05}(19) = 1.7291$
5. 做出决策
由于$t = 1.7541 > 1.7291$，拒绝原假设$H_0$，认为装配时间的均值显著大于10。