2.(ξ,n)的联合分布列如下表,(1)求ξ的边缘分布函数;(2)判断ξ和n是否独立.-|||-n 0 1 2-|||-1 1/8 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_aafd5013b50d4f7f986b712b12f7f42f.jpg/8 1/4-|||-2 1/4 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_aafd5013b50d4f7f986b712b12f7f42f.jpg/8 1/8

考查要点：本题主要考查二维离散型随机变量的边缘分布函数求解及变量独立性的判断。

解题思路：

1. 边缘分布函数：通过联合分布表，对每个ξ的取值，将对应所有n的概率相加，得到ξ的边缘分布列，再转化为分布函数。
2. 独立性判断：根据独立性定义，验证是否存在某对(ξ, n)的联合概率不等于各自边缘概率的乘积。

关键点：

• 边缘分布列的求法是累加联合概率。
• 独立性需逐一验证所有可能的(ξ, n)组合，但实际只需找到一个反例即可否定独立性。

(1) 求ξ的边缘分布函数

步骤1：计算ξ的边缘分布列

• 当ξ=1时，联合概率为：
  $P(ξ=1, n=0)=\dfrac{1}{8}$，$P(ξ=1, n=1)=\dfrac{1}{8}$，$P(ξ=1, n=2)=\dfrac{1}{4}$
  累加得：
  $P(ξ=1) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$

• 当ξ=2时，联合概率为：
  $P(ξ=2, n=0)=\dfrac{1}{4}$，$P(ξ=2, n=1)=\dfrac{1}{8}$，$P(ξ=2, n=2)=\dfrac{1}{8}$
  累加得：
  $P(ξ=2) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}$

步骤2：构造边缘分布函数

ξ的可能取值为1和2，分布函数分段表示为：
$F_ξ(x) = \begin{cases}0, & x < 1 \\0.5, & 1 \leq x < 2 \\1, & x \geq 2\end{cases}$

(2) 判断ξ和n是否独立

步骤1：计算n的边缘分布列

• $P(n=0) = P(ξ=1, n=0) + P(ξ=2, n=0) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}$
• $P(n=1) = P(ξ=1, n=1) + P(ξ=2, n=1) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{4}$
• $P(n=2) = P(ξ=1, n=2) + P(ξ=2, n=2) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}$

步骤2：验证独立性

以ξ=1和n=0为例：

• 联合概率：$P(ξ=1, n=0) = \dfrac{1}{8}$
• 边缘概率乘积：$P(ξ=1) \cdot P(n=0) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{16}$
  由于$\dfrac{1}{8} \neq \dfrac{3}{16}$，说明ξ和n不独立。