题目
在总体N(12,8^2)中随机抽取容量 64 的样本N(12,8^2)，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率。 ( 注：N(12,8^2) )
在总体
中随机抽取容量 64 的样本
，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率。 ( 注：
)
题目解答
答案
已知在总体中随机抽取容量 64 的样本，则均值
，因而
。样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率即为
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
在总体N(12,8^2)中随机抽取容量 64 的样本X1,X2,···,X64，样本均值$\overline {X}$的分布为N(12,1)，因为总体均值为12，总体方差为8^2，样本容量为64，所以样本均值的方差为$\frac{8^2}{64}=1$。
步骤 2：计算样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率
样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率即为$P(|\overline {X}-\mu |\gt 1)=P(|\overline {X}-12|\gt 1)$。由于$\overline {X}-12\sim N(0,1)$，所以$P(|\overline {X}-12|\gt 1)=2\phi (-1)$，其中$\phi (x)$是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：计算概率值
根据标准正态分布的性质，$\phi (-1)=1-\phi (1)$，而$\phi (1)=0.8413$，所以$\phi (-1)=1-0.8413=0.1587$。因此，$P(|\overline {X}-12|\gt 1)=2\times 0.1587=0.3174$。
在总体N(12,8^2)中随机抽取容量 64 的样本X1,X2,···,X64，样本均值$\overline {X}$的分布为N(12,1)，因为总体均值为12，总体方差为8^2，样本容量为64，所以样本均值的方差为$\frac{8^2}{64}=1$。
步骤 2：计算样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率
样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率即为$P(|\overline {X}-\mu |\gt 1)=P(|\overline {X}-12|\gt 1)$。由于$\overline {X}-12\sim N(0,1)$，所以$P(|\overline {X}-12|\gt 1)=2\phi (-1)$，其中$\phi (x)$是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：计算概率值
根据标准正态分布的性质，$\phi (-1)=1-\phi (1)$，而$\phi (1)=0.8413$，所以$\phi (-1)=1-0.8413=0.1587$。因此，$P(|\overline {X}-12|\gt 1)=2\times 0.1587=0.3174$。