一、从一大批发芽率为0.8的种子中随机抽取100粒,试采用切比雪夫不等式与中心极限定理分别估算-|||-发芽的种子数介于72到88之间的概率。

步骤 1：定义随机变量
设 \(X_1, X_2, \ldots, X_{100}\) 表示每粒种子是否发芽，发芽则数为1，不发芽则为0。则发芽的种子数 \(Y = X_1 + X_2 + \ldots + X_{100}\)。由于种子是随机抽取的，因此 \(X_1, X_2, \ldots, X_{100}\) 是独立同分布的随机变量，且服从伯努利分布，即 \(X_i \sim \text{Bernoulli}(0.8)\)。

步骤 2：计算期望和方差
由于 \(Y\) 是服从二项分布的随机变量，即 \(Y \sim B(100, 0.8)\)，因此其期望和方差分别为：
\[ E(Y) = 100 \times 0.8 = 80 = \mu \]
\[ D(Y) = 100 \times 0.8 \times 0.2 = 16 = \sigma^2 \]

步骤 3：使用切比雪夫不等式
根据切比雪夫不等式，对于任意随机变量 \(Y\) 和任意正数 \(\epsilon\)，有：
\[ P(|Y - \mu| \geq \epsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \]
因此，发芽的种子数介于72到88之间的概率为：
\[ P(72 \leq Y \leq 88) = P(|Y - 80| < 8) \geq 1 - \frac{16}{8^2} = 1 - \frac{16}{64} = 1 - \frac{1}{4} = 0.75 \]

步骤 4：使用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，二项分布可以近似为正态分布。因此，\(Y\) 可以近似为 \(N(80, 16)\)。则发芽的种子数介于72到88之间的概率为：
\[ P(72 \leq Y \leq 88) = P\left(\frac{72 - 80}{4} \leq \frac{Y - 80}{4} \leq \frac{88 - 80}{4}\right) = P(-2 \leq Z \leq 2) \]
其中 \(Z\) 是标准正态分布的随机变量。查标准正态分布表，得：
\[ P(-2 \leq Z \leq 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 2\Phi(2) - 1 = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544 \]