4.已知f(x)连续，int_(0)^x tf(x-t)dt=1-cos x，求int_(0)^(pi)/(2) f(x)dx的值.

本题主要考查定积分的换元法、积分的运算以及变上限积分求导法则。解题的关键思路是先通过换元法将给定的积分式子进行化简，然后对化简后的等式两边求导，从而得到关于$f(x)$的积分表达式，最后代入特定的值求解。

1. 换元化简积分式子：
   • 令$u = x - t$，则$du = -dt$。
   • 当$t = 0$时，$u = x$；当$t = x$时，$u = 0$。
   • 原积分$\int_{0}^{x} tf(x - t)dt$可改写为：
     $\int_{0}^{x} tf(x - t)dt=\int_{x}^{0} (x - u)f(u)(-du)$
     根据定积分的性质$\int_{a}^{b}F(x)dx=-\int_{b}^{a}F(x)dx$，上式可进一步化为$\int_{0}^{x} (x - u)f(u)du$。
2. 展开积分式子：
   根据乘法分配律$a(b - c)=ab - ac$，将$\int_{0}^{x} (x - u)f(u)du$展开得：
   $\int_{0}^{x} (x - u)f(u)du=x\int_{0}^{x} f(u)du-\int_{0}^{x} uf(u)du$
3. 根据已知条件建立等式并求导：
   已知$\int_{0}^{x} tf(x - t)dt = 1 - \cos x$，结合前面的化简结果可得：
   $x\int_{0}^{x} f(u)du-\int_{0}^{x} uf(u)du = 1 - \cos x$
   等式两边同时对$x$求导，根据求导的加法法则$(F(x)-G(x))^\prime=F^\prime(x)-G^\prime(x)$以及乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$和变上限积分求导法则$(\int_{a}^{x}F(t)dt)^\prime=F(x)$：
   • 对$x\int_{0}^{x} f(u)du$求导，令$u(x)=x$，$v(x)=\int_{0}^{x} f(u)du$，则$(x\int_{0}^{x} f(u)du)^\prime=(x)^\prime\int_{0}^{x} f(u)du+x(\int_{0}^{x} f(u)du)^\prime=\int_{0}^{x} f(u)du+xf(x)$。
   • 对$\int_{0}^{x} uf(u)du$求导，根据变上限积分求导法则可得$(\int_{0}^{x} uf(u)du)^\prime=xf(x)$。
   • 对$1 - \cos x$求导，$(1 - \cos x)^\prime=(1)^\prime-(\cos x)^\prime=0-(-\sin x)=\sin x$。
     所以求导后得到：
     $\int_{0}^{x} f(u)du+xf(x)-xf(x)=\sin x$
     化简得：
     $\int_{0}^{x} f(u)du=\sin x$
4. 代入特定值求解：
   令$x = \frac{\pi}{2}$，则：
   $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(u)du=\sin\frac{\pi}{2}=1$
   因为定积分的值与积分变量的符号无关，所以$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx = 1$。