题目
3.设D_(k)是圆域D=(x,y)|x^2+y^2leq1在第k象限的部分，记I_(k)=iintlimits_(D_{k)}(y-x)dx dy(k=1,2,3,4)，则（ ）A. I_(1)>0B. I_(2)>0C. I_(3)>0D. I_(4)>0
3.设$D_{k}$是圆域$D=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq1\}$在第k象限的部分，记$I_{k}=\iint\limits_{D_{k}}(y-x)dx dy(k=1,2,3,4)$，则（ ）
A. $I_{1}>0$
B. $I_{2}>0$
C. $I_{3}>0$
D. $I_{4}>0$
题目解答
答案
B. $I_{2}>0$
解析
考查要点：本题主要考查二重积分在不同象限区域内的符号判断，需要结合被积函数的符号特性及积分区域的对称性进行分析。
解题核心思路：
- 分象限分析被积函数$y - x$的符号：根据各象限内$x$和$y$的正负，判断$y - x$的正负性。
- 利用对称性简化计算：若积分区域关于某直线对称，且被积函数在对称点处取相反数，则积分结果为0。
破题关键点：
- 第一、第三象限：积分区域关于直线$y = x$对称，且$y - x$与$x - y$符号相反，积分结果为0。
- 第二象限：$x < 0$，$y > 0$，$y - x > 0$，积分结果为正。
- 第四象限：$x > 0$，$y < 0$，$y - x < 0$，积分结果为负。
第（1）题：分析各象限积分符号
第一象限（$I_1$）
- 条件：$x > 0$，$y > 0$。
- 对称性：积分区域关于$y = x$对称，且$y - x$在点$(x, y)$与$(y, x)$处取值相反。
- 结论：正负部分抵消，$I_1 = 0$。
第二象限（$I_2$）
- 条件：$x < 0$，$y > 0$。
- 符号分析：$y - x = \text{正数} - \text{负数} = \text{正数} + \text{正数} > 0$。
- 结论：被积函数恒正，$I_2 > 0$。
第三象限（$I_3$）
- 条件：$x < 0$，$y < 0$。
- 对称性：积分区域关于$y = x$对称，且$y - x$在点$(x, y)$与$(y, x)$处取值相反。
- 结论：正负部分抵消，$I_3 = 0$。
第四象限（$I_4$）
- 条件：$x > 0$，$y < 0$。
- 符号分析：$y - x = \text{负数} - \text{正数} = \text{负数} + \text{负数} < 0$。
- 结论：被积函数恒负，$I_4 < 0$。