题目
若X和Y的方差分别为25和16,相关系数rho_(xy)=0.2，则D(X+2Y)= () A. 110B. 97C. 105D. 76
$$ 若X和Y的方差分别为25和16,相关系数$\rho_{xy}=0.2$，则D(X+2Y)= () $$
- A. 110
- B. 97
- C. 105
- D. 76
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：计算协方差
根据相关系数的定义，协方差Cov(X,Y)可以通过相关系数$\rho_{xy}$和标准差$\sigma_x$、$\sigma_y$计算得到。已知$\rho_{xy}=0.2$，$\sigma_x^2=D(X)=25$，$\sigma_y^2=D(Y)=16$，则$\sigma_x=5$，$\sigma_y=4$。因此，Cov(X,Y)=$\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y=0.2\times5\times4=4$。
步骤 2：计算D(X+2Y)
根据方差的性质，D(X+2Y)=D(X)+D(2Y)+2Cov(X,2Y)。其中，D(2Y)=4D(Y)=4\times16=64，Cov(X,2Y)=2Cov(X,Y)=2\times4=8。因此，D(X+2Y)=25+64+2\times8=105。
根据相关系数的定义，协方差Cov(X,Y)可以通过相关系数$\rho_{xy}$和标准差$\sigma_x$、$\sigma_y$计算得到。已知$\rho_{xy}=0.2$，$\sigma_x^2=D(X)=25$，$\sigma_y^2=D(Y)=16$，则$\sigma_x=5$，$\sigma_y=4$。因此，Cov(X,Y)=$\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y=0.2\times5\times4=4$。
步骤 2：计算D(X+2Y)
根据方差的性质，D(X+2Y)=D(X)+D(2Y)+2Cov(X,2Y)。其中，D(2Y)=4D(Y)=4\times16=64，Cov(X,2Y)=2Cov(X,Y)=2\times4=8。因此，D(X+2Y)=25+64+2\times8=105。