随机抽取了10名获得菲尔兹奖的数学家,他们的获奖年龄分别是:38,36,38,34,40,39,31,40,37,36,则其样本均值,样本方差和样本标准差分别为。A. 36.9, 7.88, 2.81B. 36.9, 8, 3C. 38, 9, 10D. 36.9, 6.9, 3

本题考查样本均值、样本方差和样本标准差的计算。解题思路是先根据样本均值的计算公式求出样本均值，再依据样本方差的计算公式算出样本方差，最后对样本方差开平方得到样本标准差。

1. 计算样本均值$\bar{x}$

样本均值$\bar{x}$的计算公式为$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，其中$n$是样本数量，$x_{i}$是第$i$个样本值。
已知$n = 10$，$x_{1}=38$，$x_{2}=36$，$x_{3}=38$，$x_{4}=34$，$x_{5}=40$，$x_{6}=39$，$x_{7}=31$，$x_{8}=40$，$x_{9}=37$，$x_{10}=36$。
将这些值代入公式可得：
$\begin{align*}\bar{x}&=\frac{1}{10}\times(38 + 36 + 38 + 34 + 40 + 39 + 31 + 40 + 37 + 36)\\&=\frac{1}{10}\times369\\&= 36.9\end{align*}$

2. 计算样本方差$s^{2}$

样本方差$s^{2}$的计算公式为$s^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$。
分别计算$(x_{i}-\bar{x})^{2}$的值：

• $(38 - 36.9)^{2}=1.1^{2}=1.21$
• $(36 - 36.9)^{2}=(-0.9)^{2}=0.81$
• $(38 - 36.9)^{2}=1.1^{2}=1.21$
• $(34 - 36.9)^{2}=(-2.9)^{2}=8.41$
• $(40 - 36.9)^{2}=3.1^{2}=9.61$
• $(39 - 36.9)^{2}=2.1^{2}=4.41$
• $(31 - 36.9)^{2}=(-5.9)^{2}=34.81$
• $(40 - 36.9)^{2}=3.1^{2}=9.61$
• $(37 - 36.9)^{2}=0.1^{2}=0.01$
• $(36 - 36.9)^{2}=(-0.9)^{2}=0.81$

将上述值代入样本方差公式可得：
$\begin{align*}s^{2}&=\frac{1}{10 - 1}\times(1.21 + 0.81 + 1.21 + 8.41 + 9.61 + 4.41 + 34.81 + 9.61 + 0.01 + 0.81)\\&=\frac{1}{9}\times70.9\\&\approx 7.88\end{align*}$

3. 计算样本标准差$s$

样本标准差$s$是样本方差$s^{2}$的平方根，即$s = \sqrt{s^{2}}$。
将$s^{2}\approx 7.88$代入可得：
$s = \sqrt{7.88}\approx 2.81$