题目
6.设总体 sim b(1,p), X1,X2,···,Xn是来自X的样本.-|||-(1)求(X1,X2,···,Xn )的分布律.-|||-(2)求 sum _(i=1)^n(X)_(i) 的分布律.-|||-(3)求E(X),D(X),E(S^2).
题目解答
答案
解析
步骤 1：求(X1,X2,···,Xn)的分布律
由于X1,X2,···,Xn是来自X的样本，且X~b(1,p)，即X服从参数为1和p的二项分布。因此，每个Xi都服从参数为1和p的二项分布，即Xi~B(1,p)。由于X1,X2,···,Xn相互独立，所以(X1,X2,···,Xn)的联合分布律为：
\[ P(X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i=x_i) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} \]
其中，$x_i$取值为0或1，$i=1,2,\cdots,n$。
步骤 2：求$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$的分布律
由于X1,X2,···,Xn相互独立，且每个Xi都服从参数为1和p的二项分布，所以$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$服从参数为n和p的二项分布，即$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$~B(n,p)。其分布律为：
\[ P(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \]
其中，$k=0,1,2,\cdots,n$。
步骤 3：求E(X),D(X),E(S^2)
由于X~B(1,p)，所以E(X)=p，D(X)=p(1-p)。对于样本均值$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$，其期望和方差分别为E($\bar{X}$)=p，D($\bar{X}$)=$\frac{p(1-p)}{n}$。样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$，其期望为E($S^2$)=D(X)=p(1-p)。
由于X1,X2,···,Xn是来自X的样本，且X~b(1,p)，即X服从参数为1和p的二项分布。因此，每个Xi都服从参数为1和p的二项分布，即Xi~B(1,p)。由于X1,X2,···,Xn相互独立，所以(X1,X2,···,Xn)的联合分布律为：
\[ P(X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i=x_i) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} \]
其中，$x_i$取值为0或1，$i=1,2,\cdots,n$。
步骤 2：求$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$的分布律
由于X1,X2,···,Xn相互独立，且每个Xi都服从参数为1和p的二项分布，所以$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$服从参数为n和p的二项分布，即$\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$~B(n,p)。其分布律为：
\[ P(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \]
其中，$k=0,1,2,\cdots,n$。
步骤 3：求E(X),D(X),E(S^2)
由于X~B(1,p)，所以E(X)=p，D(X)=p(1-p)。对于样本均值$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$，其期望和方差分别为E($\bar{X}$)=p，D($\bar{X}$)=$\frac{p(1-p)}{n}$。样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$，其期望为E($S^2$)=D(X)=p(1-p)。