题目

(4)lim_(ntoinfty)(sqrt(4n^2)+n-2n)

(4)$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{4n^{2}+n}-2n)$

题目解答

答案

\[ \lim_{n \to \infty}(\sqrt{4n^2 + n} - 2n) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + 2} = \frac{1}{4} \] 或者使用泰勒展开近似： \[ \sqrt{4n^2 + n} \approx 2n + \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to \infty} \left(2n + \frac{1}{4} - 2n\right) = \frac{1}{4} \] 答案：$\boxed{\frac{1}{4}}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是处理根号与多项式相减的极限问题。关键在于通过有理化或泰勒展开等方法，将原式转化为易于求极限的形式。

解题核心思路：
当遇到形如$\sqrt{an^2 + bn} - cn$的极限时，通常采用有理化的方法，即乘以共轭表达式，将分子分母同时变形，从而消去根号。此外，也可以利用泰勒展开对根号部分进行近似展开，简化计算。

破题关键点：

  1. 有理化：通过分子分母同乘共轭表达式，将原式转化为分式形式。
  2. 提取公因子：将分母中的根号表达式提取出$n$的因子，简化极限计算。
  3. 泰勒展开：对根号部分进行一阶近似展开，直接求出极限。

步骤1：有理化处理
原式为$\sqrt{4n^2 + n} - 2n$，分子分母同乘以共轭表达式$\sqrt{4n^2 + n} + 2n$：
$\begin{aligned}\sqrt{4n^2 + n} - 2n &= \frac{(\sqrt{4n^2 + n} - 2n)(\sqrt{4n^2 + n} + 2n)}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n} \\&= \frac{(4n^2 + n) - (2n)^2}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n} \\&= \frac{n}{\sqrt{4n^2 + n} + 2n}.\end{aligned}$

步骤2：化简分式
将分母中的根号表达式提取公因子$n$：
$\sqrt{4n^2 + n} = n\sqrt{4 + \frac{1}{n}}.$
代入分式得：
$\frac{n}{n\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + 2n} = \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + 2}.$

步骤3：求极限
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}.$

泰勒展开法（补充）
将$\sqrt{4n^2 + n}$展开为：
$\sqrt{4n^2 + n} = 2n\sqrt{1 + \frac{1}{4n}} \approx 2n\left(1 + \frac{1}{8n}\right) = 2n + \frac{1}{4}.$
因此原式近似为：
$\sqrt{4n^2 + n} - 2n \approx \frac{1}{4}.$