设函数f(x)在[0,1]上具有三阶连续导数，(1)证明：存在xiin[0,1]，使得int_(0)^1f(x)dx=f((1)/(2))+(1)/(24)f''(xi);(2)若f'''(x)|leq1，证明：|f(1)-f(0)-f'((1)/(2))|leq(1)/(24)

为了解决给定的问题，我们将分两部分进行解答。 ### 第一部分：证明存在 $\xi \in [0,1]$，使得 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = f\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{24} f''(\xi)$ 首先，我们使用泰勒公式将 $f(x)$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处展开。泰勒公式表明，对于具有三阶连续导数的函数 $f(x)$，我们有： \[ f(x) = f\left(\frac{1}{2}\right) + f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right) + \frac{f''\left(\frac{1}{2}\right)}{2}\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{f'''(\xi_x)}{6}\left(x - \frac{1}{2}\right)^3 \] 其中 $\xi_x$ 是介于 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 之间的某个值。 现在，我们对 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上积分： \[ \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \left[ f\left(\frac{1}{2}\right) + f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right) + \frac{f''\left(\frac{1}{2}\right)}{2}\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{f'''(\xi_x)}{6}\left(x - \frac{1}{2}\right)^3 \right] \, dx. \] 我们可以将积分拆分为四部分： \[ \int_0^1 f(x) \, dx = f\left(\frac{1}{2}\right) \int_0^1 1 \, dx + f'\left(\frac{1}{2}\right) \int_0^1 \left(x - \frac{1}{2}\right) \, dx + \frac{f''\left(\frac{1}{2}\right)}{2} \int_0^1 \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \, dx + \int_0^1 \frac{f'''(\xi_x)}{6} \left(x - \frac{1}{2}\right)^3 \, dx. \] 分别计算每个积分： \[ \int_0^1 1 \, dx = 1, \] \[ \int_0^1 \left(x - \frac{1}{2}\right) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} \right]_0^1 = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) - \left( 0 - 0 \right) = 0, \] \[ \int_0^1 \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \, dx = \left[ \frac{\left(x - \frac{1}{2}\right)^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^3}{3} - \frac{\left(0 - \frac{1}{2}\right)^3}{3} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{3} - \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^3}{3} = \frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{12}. \] 对于最后一部分，我们使用积分中值定理： \[ \int_0^1 \frac{f'''(\xi_x)}{6} \left(x - \frac{1}{2}\right)^3 \, dx = \frac{f'''(\xi)}{6} \int_0^1 \left(x - \frac{1}{2}\right)^3 \, dx \] 其中 $\xi \in [0,1]$。计算积分： \[ \int_0^1 \left(x - \frac{1}{2}\right)^3 \, dx = \left[ \frac{\left(x - \frac{1}{2}\right)^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^4}{4} - \frac{\left(0 - \frac{1}{2}\right)^4}{4} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^4}{4} - \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^4}{4} = \frac{1}{64} - \frac{1}{64} = 0. \] 因此，最后一部分为0，我们得到： \[ \int_0^1 f(x) \, dx = f\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{f''\left(\frac{1}{2}\right)}{2} \cdot \frac{1}{12} + 0 = f\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{f''\left(\frac{1}{2}\right)}{24}. \] 由于 $f''(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，根据介值定理，存在 $\xi \in [0,1]$ 使得 $f''(\xi) = f''\left(\frac{1}{2}\right)$。因此，我们有： \[ \int_0^1 f(x) \, dx = f\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{24} f''(\xi). \] ### 第二部分：若 $|f'''(x)| \leq 1$，证明 $|f(1) - f(0) - f'\left(\frac{1}{2}\right)| \leq \frac{1}{24}$ 使用泰勒公式，将 $f(1)$ 和 $f(0)$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处展开： \[ f(1) = f\left(\frac{1}{2}\right) + f'\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{f''\left(\frac{1}{2}\right)}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{f'''(\xi_1)}{6} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = f\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{f'\left(\frac{1}{2}\right)}{2} + \frac{f''\left(\frac{1}{2}\right)}{8} + \frac{f'''(\xi_1)}{48}, \] \[ f(0) = f\left(\frac{1}{2}\right) + f'\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{f''\left(\frac{1}{2}\right)}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{f'''(\xi_0)}{6} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = f\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{f'\left(\frac{1}{2}\right)}{2} + \frac{f''\left(\frac{1}{2}\right)}{8} - \frac{f'''(\xi_0)}{48}. \] 相减得到： \[ f(1) - f(0) = \left( f\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{f'\left(\frac{1}{2}\right)}{2} + \frac{f''\left(\frac{1}{2}\right)}{8} + \frac{f'''(\xi_1)}{48} \right) - \left( f\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{f'\left(\frac{1}{2}\right)}{2} + \frac{f''\left(\frac{1}{2}\right)}{8} - \frac{f'''(\xi_0)}{48} \right) = f'\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{f'''(\xi_1) + f'''(\xi_0)}{48}. \] 因此： \[ f(1) - f(0) - f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{f'''(\xi_1) + f'''(\xi_0)}{48}. \] 由于 $|f'''(x)| \leq 1$，我们有 $|f'''(\xi_1) + f'''(\xi_0)| \leq 2$，所以： \[ \left| f(1) - f(0) - f'\left(\frac{1}{2}\right) \right| \leq \frac{2}{48} = \frac{1}{24}. \] 最终答案为： \[ \boxed{\frac{1}{24}}. \]