题目
11.设总体X的概率密度为-|||-(x;theta )= dfrac (1)(theta )(x)^(1-theta )/0,0lt xlt 1 , lt 0lt 00,-|||-0, 其他.-|||-X1,X2,···,Xn是来自总体X的样本.-|||-(1)验证θ的最大似然估计量是 hat (theta )=dfrac (-1)(n)sum _(i=1)^nln (X)_(i).-|||-(2)证明θ是θ的无偏估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：似然函数的构建
似然函数 $L(\theta)$ 是基于样本数据 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 的联合概率密度函数，对于独立同分布的样本，似然函数可以表示为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta)$。根据题目中的概率密度函数，似然函数为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} x_i^{(1-\theta)/\theta}$。
步骤 2：对数似然函数的构建
为了简化计算，我们通常对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(X_i; \theta)$。根据步骤1中的似然函数，对数似然函数为 $\ln L(\theta) = -n \ln \theta + \frac{1-\theta}{\theta} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$。
步骤 3：求导并求解
为了找到使对数似然函数最大化的 $\theta$，我们需要对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于0。对 $\ln L(\theta)$ 求导得到 $\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$。令导数等于0，解得 $\theta = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$，即 $\hat{\theta} = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i$。
步骤 4：证明无偏性
为了证明 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量，我们需要计算 $\hat{\theta}$ 的期望值 $E(\hat{\theta})$。根据步骤3中的 $\hat{\theta}$，我们有 $E(\hat{\theta}) = E(-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i) = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(\ln X_i)$。由于 $X_i$ 是独立同分布的，$E(\ln X_i)$ 对所有 $i$ 都相等，因此 $E(\hat{\theta}) = -E(\ln X)$。根据题目中的概率密度函数，可以计算出 $E(\ln X) = -\theta$，因此 $E(\hat{\theta}) = \theta$，证明了 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。
似然函数 $L(\theta)$ 是基于样本数据 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 的联合概率密度函数，对于独立同分布的样本，似然函数可以表示为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta)$。根据题目中的概率密度函数，似然函数为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} x_i^{(1-\theta)/\theta}$。
步骤 2：对数似然函数的构建
为了简化计算，我们通常对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(X_i; \theta)$。根据步骤1中的似然函数，对数似然函数为 $\ln L(\theta) = -n \ln \theta + \frac{1-\theta}{\theta} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$。
步骤 3：求导并求解
为了找到使对数似然函数最大化的 $\theta$，我们需要对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于0。对 $\ln L(\theta)$ 求导得到 $\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$。令导数等于0，解得 $\theta = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$，即 $\hat{\theta} = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i$。
步骤 4：证明无偏性
为了证明 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量，我们需要计算 $\hat{\theta}$ 的期望值 $E(\hat{\theta})$。根据步骤3中的 $\hat{\theta}$，我们有 $E(\hat{\theta}) = E(-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i) = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(\ln X_i)$。由于 $X_i$ 是独立同分布的，$E(\ln X_i)$ 对所有 $i$ 都相等，因此 $E(\hat{\theta}) = -E(\ln X)$。根据题目中的概率密度函数，可以计算出 $E(\ln X) = -\theta$，因此 $E(\hat{\theta}) = \theta$，证明了 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。