题目

设总体服从自由度为m的chi^2分布，X_1, X_2, ldots X_n是来自该总体的样本，则noverline(X)服从()分布.A. chi^2(nm)B. chi^2(n + m - 2)C. chi^2(n + m)D. chi^2((n-1)(m-1))

设总体服从自由度为$m$的$\chi^2$分布，$X_1, X_2, \ldots X_n$是来自该总体的样本，则$n\overline{X}$服从()分布.

A. $\chi^2(nm)$

B. $\chi^2(n + m - 2)$

C. $\chi^2(n + m)$

D. $\chi^2((n-1)(m-1))$

题目解答

答案

为了确定 $ n\overline{X} $ 的分布，我们首先需要理解 $ \overline{X} $ 的分布，其中 $ \overline{X} $ 是来自自由度为 $ m $ 的 $ \chi^2 $ 分布总体的样本的样本均值。 已知 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是来自自由度为 $ m $ 的 $ \chi^2 $ 分布总体的样本，每个 $ X_i $ 服从 $ \chi^2(m) $ 分布。卡方分布的均值是其自由度，因此 $ E(X_i) = m $ 对于每个 $ i $。 样本均值 $ \overline{X} $ 定义为： \[ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \] 由于卡方分布的和也是卡方分布，其自由度是各个自由度的和，我们有： \[ \sum_{i=1}^n X_i \sim \chi^2(nm) \] 因此，样本均值 $ \overline{X} $ 是一个卡方随机变量，其自由度为 $ nm $，除以 $ n $。这意味着 $ \overline{X} $ 是一个自由度为 $ nm $ 的卡方随机变量，按 $ \frac{1}{n} $ 缩放。 现在，我们需要找到 $ n\overline{X} $ 的分布： \[ n\overline{X} = n \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n X_i \] 由于 $ \sum_{i=1}^n X_i \sim \chi^2(nm) $，可以得出： \[ n\overline{X} \sim \chi^2(nm) \] 因此，正确答案是： \[ \boxed{A} \]

解析

本题考查卡方分布的性质以及样本均值的相关知识。解题的关键在于利用卡方分布的可加性，先确定样本总和的分布，再通过样本均值与样本总和的关系，推导出$n\overline{X}$的分布。

  1. 已知总体服从自由度为$m$的$\chi^2$分布，即$X_i\sim\chi^2(m)$，$i = 1,2,\cdots,n$。
  2. 根据卡方分布的可加性：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，且$X_i\sim\chi^2(m_i)$，$i = 1,2,\cdots,n$，则$\sum_{i = 1}^{n}X_i\sim\chi^2(\sum_{i = 1}^{n}m_i)$。
    • 在本题中，$m_1 = m_2=\cdots=m_n = m$，所以$\sum_{i = 1}^{n}X_i\sim\chi^2(nm)$。
  3. 样本均值$\overline{X}$的定义为$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。
  4. 计算$n\overline{X}$：
    • $n\overline{X}=n\times\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i=\sum_{i = 1}^{n}X_i$。
    • 因为$\sum_{i = 1}^{n}X_i\sim\chi^2(nm)$，所以$n\overline{X}\sim\chi^2(nm)$。